\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\ \Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\\ \Rightarrow\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\\ \Rightarrow\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}=\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^{2013}\left(1\right)\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a^{2013}}{c^{2013}}=\frac{b^{2013}}{d^{2013}}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{c^{2013}+d^{2013}}\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\left(\frac{a-b}{c-d}\right)^{2013}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{c^{2013}+d^{2013}}\)

Ta có: \(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}.\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}=\frac{b+c}{d+a}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}+1=\frac{b+c}{d+a}+1.\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+d}+\frac{c+d}{c+d}=\frac{b+c}{d+a}+\frac{d+a}{d+a}.\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{c+d}=\frac{b+c+d+a}{d+a}\)

Nếu \(a+b+c+d\ne0.\)

\(\Rightarrow c+d=d+a\)

\(\Rightarrow c=a\left(đpcm1\right).\)

Nếu \(a+b+c+d=0\) thì hợp với đề.

\(\Rightarrow a+b+c+d=0\left(đpcm2\right).\)

Chúc bạn học tốt!

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{b+c+d}{a}=\frac{c+d+a}{b}=\frac{d+a+b}{c}=\frac{a+b+c}{d}\)

\(=\frac{b+c+d+c+d+a+d+a+b+a+b+c}{a+b+c+d}\)

\(=\frac{3a+3b+3c+3d}{a+b+c+d}\)

\(=\frac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}\)

\(=3\)

Vậy k = 3

Vậy k = 3

Chúc bạn hok tốt !

Áp dụng tính  chất  dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{d+c+d}{a}=\frac{c+d+a}{b}=\frac{d+a+b}{c}=\frac{a+b+c}{d}\)

\(=\frac{d+c+d+c+d+a+d+a+b+a+b+c}{a+b+c+d}\)

\(=\frac{3(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=3\)

Vậy  k = 3

a: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}-1=\dfrac{c}{d}-1\)

hay \(\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{c-d}{d}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a - c}}{{b - d}}\); \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + 2c}}{{b + 2d}}\)

Như vậy, \(\frac{{a - c}}{{b - d}} = \frac{{a + 2c}}{{b + 2d}}\) (đpcm)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có :

\(\dfrac{b+c+d}{a}=\dfrac{c+d+a}{b}=\dfrac{d+a+b}{c}=\dfrac{a+b+c}{d}=\dfrac{b+c+d+c+d+a+d+a+b+a+b+c}{a+b+c+d}\)

\(=\dfrac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=3\)

=> k = 3

sửa: \(\dfrac{b+c+d}{a}=\dfrac{c+d+a}{b}=\dfrac{d+a+b}{c}=\dfrac{a+b+c}{d}=k\)

giải:

\(\dfrac{b+c+d}{a}=\dfrac{c+d+a}{b}=\dfrac{d+a+b}{c}=\dfrac{a+b+c}{d}\\ =\dfrac{b+c+d+c+d+a+d+a+b+a+b+c}{a+b+c+d}\\ =\dfrac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=3=k\)

vậy k=3

Giải :

Cộng thêm 1 vào mỗi tỉ số đã cho ta được:

\(\dfrac{b+c+d}{a}+1=\dfrac{c+d+a}{b}+1=\dfrac{d+a+b}{c}+1\)\(=\dfrac{a+b+a}{d}+1=\dfrac{a+b+c+d}{a}=\dfrac{a+b+c+d}{b}\)\(=\dfrac{a+b+c+d}{c}=\dfrac{a+b+c+d}{d}\)

Vì a+b+c+d \(\ne\)0 nên a=b=c=d

=>k=\(\dfrac{3a}{a}=3\)

a) Vừa nhìn đề biết ngay sai

Sửa đề:

Chứng minh: \(P\left(-1\right).P\left(-2\right)\le0\)

Giải:

Ta có:

\(P\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\left(-1\right)=a.\left(-1\right)^2+b.\left(-1\right)+c\\P\left(-2\right)=a.\left(-2\right)^2+b.\left(-2\right)+c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\left(-1\right)=a-b+c\\P\left(-2\right)=4a-2b+c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P\left(-1\right)+P\left(-2\right)=\left(a-b+c\right)+\left(4a-2b+c\right)\)

\(=\left(a+4a\right)-\left(b+2b\right)+\left(c+c\right)\)

\(=5a-3b+2c=0\)

\(\Rightarrow P\left(-1\right)=-P\left(-2\right)\)

\(\Rightarrow P\left(-1\right).P\left(-2\right)=-P^2\left(-2\right)\le0\) vì \(P^2\left(-2\right)\ge0\)

Vậy nếu \(5a-3b+2c=0\) thì \(P\left(-1\right).P\left(-2\right)\le0\)

b) Giải:

Từ giả thiết suy ra:

\(\left\{{}\begin{matrix}b^2=ac\\c^2=bd\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\)

Ta có:

\(\dfrac{a^3}{b^3}=\dfrac{b^3}{c^3}=\dfrac{c^3}{d^3}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\left(1\right)\)

Lại có:

\(\dfrac{a^3}{b^3}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{a}{b}.\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{d}=\dfrac{a.b.c}{b.c.d}=\dfrac{a}{d}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\dfrac{a}{d}\) (Đpcm)

a) Có P(1) = a.\(1^2\)+b.1+c = a+b+c

P(2) = a.\(2^2\)+b.2+c = 4a+2b+c

=>P(1)+P(2) = a+b+c+4a+2b+c = 5a+3b+2c = 0

<=>\(\left[{}\begin{matrix}P\left(1\right)=P\left(2\right)=0\\P\left(1\right)=-P\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Nếu P(1) = P(2) => P(1).P(2) = 0

Nếu P(1) = -P(2) => P(1).P(2) < 0

Vậy P(1).P(2)\(\le\)0

b) Từ \(b^2=ac\) =>\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}\) (1)

\(c^2=bd\) =>\(\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\)

Áp dụng tc của dãy tỉ số bằng nhau ta có