a) ∆MNP cân tại M (gt)

MI là đường cao (gt)

⇒ MI cũng là đường trung tuyến

⇒ I là trung điểm của NP

⇒ IN = IP

Xét hai tam giác vuông: ∆HIN và ∆HIP có:

HI chung

IN = IP (cmt)

⇒ ∆HIN = ∆HIP (hai cạnh góc vuông)

⇒ HN = HP (hai cạnh tương ứng)

⇒ ∆NHP cân tại H

b) ∆MNP cân tại M (gt)

MI là đường cao (gt)

⇒ MI cũng là đường phân giác

⇒ ∠NMI = ∠PMI

Do IQ // MP (gt)

⇒ ∠MIQ = ∠PMI (so le trong)

Mà ∠NMI = ∠PMI (cmt)

⇒ ∠MIQ = ∠NMI

⇒ ∠MIQ = ∠QMI

⇒ ∆QMI cân tại Q

⇒ QM = QI (1)

Do IQ // MP (gt)

⇒ ∠QIN = ∠MPN (đồng vị)

Do ∆MNP cân tại M (gt)

⇒ ∠MNP = ∠MPN

Mà ∠MPN = ∠QIN (cmt)

⇒ ∠QIN = ∠MNP

⇒ ∠QIN = ∠QNI

⇒ ∆QIN cân tại Q

⇒ QI = QN (2)

Từ (1) và (2) ⇒ QM = QN

⇒ Q là trung điểm của MN

⇒ PQ là đường trung tuyến của ∆MNP

∆MNP có:

MI là đường trung tuyến (cmt)

NK là đường trung tuyến (cmt)

PQ là đường trung tuyến (cmt)

MI cắt NK tại H (gt)

⇒ MI, NK, PQ đồng quy tại H

Gọi x (ngày) là thời gian đội 1 làm riêng xong công việc (x > 8)

⇒ x - 8 (ngày) là thời gian đội 2 làm riêng xong công việc

Trong 4 ngày đầu, đội 1 làm được: 4/x (công việc)

Trong 8 ngày tiếp theo hai đội làm chung được: 8/x + 8/(x - 8) (công việc)

Theo đề bài, ta có phương trình:

4/x + 8/x + 8/(x - 8) = 1

⇔ 12/x + 8/(x - 8) = 1

⇔ 12(x - 8) + 8x = x(x - 8)

⇔ 12x - 96 + 8x = x² - 8x

⇔ x² - 8x - 20x + 96 = 0

⇔ x² - 28x + 96 = 0

⇔ x² - 4x - 24x + 96 = 0

⇔ (x² - 4x) - (24x - 96) = 0

⇔ x(x - 4) - 24(x - 4) = 0

⇔ (x - 4)(x - 24) = 0

⇔ x - 4 = 0 hoặc x - 24 = 0

*) x - 4 = 0

⇔ x = 4 (loại)

*) x - 24 = 0

⇔ x = 24 (nhận)

Vậy đội 1 làm riêng trong 24 ngày thì xong công việc, đội 2 làm riêng trong 24 - 8 = 16 ngày thì xong công việc

\(x^2+4x-5=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x+5x-5=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+5\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-5\end{matrix}\right.\)

\(x^2+4x-5=0\)

\(\left(a=1;b=2;c=-5\right)\)

\(\Delta'=b^2-ac\)

\(\Delta'=2^2-1.\left(-5\right)\)

\(\Delta'=9>0\Rightarrow\sqrt{\Delta'}=\sqrt{9}=3\)

Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt.

\(x_1=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=\dfrac{\left(-2\right)+3}{1}=1\)

\(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta'}}{a}=\dfrac{\left(-2\right)-3}{1}=-5\)

Vậy pt có tập nghiệm S = \(\left(1;-5\right)\)

 \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=5\\x-y=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=9\\x-y=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy hệ pt có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(3;-1\right)\)

Pt hoành độ giao điểm: \(x^2=-x+4\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-4=0\) (1)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-1\\x_1x_2=-4\end{matrix}\right.\)

Gọi tọa độ \(M\left(x_1;x_1^2\right)\) và \(N\left(x_2;x_2^2\right)\) với \(x_1;x_2\) là nghiệm của (1)

Do H, K là hình chiếu của M, N lên trục tung \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}H\left(0;x_1^2\right)\\K\left(0;x_2^2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OH=\left|y_H\right|=x_1^2\\OK=\left|y_K\right|=x_2^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow OH.OK=x_1^2.x_2^2=\left(x_1x_2\right)^2=\left(-4\right)^2=16\)

Gọi chiều rộng khu vườn là x (m) với x>0

Do chiều dài lớn hơn chiều rộng 14m nên chiều dài khu vườn là: \(x+14\) (m)

Diện tích khu vườn là: \(x\left(x+14\right)\) (\(m^2\))

Do diện tích khu vườn bằng 95 \(m^2\) nên ta có pt:

\(x\left(x+14\right)=95\)

\(\Leftrightarrow x^2+14x-95=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-19\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy khu vườn rộng 5m, dài \(5+14=19\left(m\right)\)