\(Cho\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}.CMR:\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+a^3}=\frac{a}{d}\)
Ai nahnh VÀ đúng thì mình tick cho
1) Cho a, b, c ≠ 0 và a ≠b thỏa mãn a + b + c = 2 và (a2 - bc)(b - abc) = (b2 - ac)(a - abc). Tính S = \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)
2) Cho a, b, c > 0. CMR: \(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
Làm được đến đâu thì làm nhé. Ai nhanh và đúng thì mình sẽ tick và add friends nhé. Thanks. Please help me!!!
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}\)
\(=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{cb+ba}+\frac{c^4}{ac+bc}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrowđpcm\)
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{a^3}{b+c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b+c}.\frac{a^3}{b+c}.\frac{\left(b+c\right)^2}{8}}=\frac{3a^2}{2}\)
Rồi tương tự các kiểu:v
Suy ra \(2VT\ge\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2}{8}\)
\(\ge\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\left(a^2+b^2+c^2\right)\) (chú ý \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\))
Không phải dùng tới Cauchy-Schwarz:D
mình chưa hiểu?
có thể giải thích rõ hơn đc ko
Cho
\(\frac{a}{b}\)= \(\frac{c}{d}\)= \(\frac{b}{d}\). C/minh \(\frac{a^3+c^3-b^3}{c^3+b^3-d^3}\)= \(\frac{a}{d}\)
Ai nhanh và đúng tick cho !
vu thanh trung
Dell trl giúp thì biến đừng ở đó mà ns bậy bạ
a) Cho các số thực a,b,c thoả mãn \(\frac{a-b}{4}=\frac{b-c}{5}=\frac{a-c}{6}\).Chứng minh a=b=c
b) Cho các số thực a,b,c,d thoả mãn \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\).CMR: \(\frac{\left(a+b+c\right)^3}{\left(b+c+d\right)^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\)
ai làm 2 ý đc tick
cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}.CMR:\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\)
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\frac{a}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\)( đpcm )
Bài Toán :
Cho :
A = \(\frac{2.a+b+c}{a+b+c}+\frac{2.b+c+d}{b+c+d}+\frac{2.c+d+a}{d+a+c}+\frac{2.d+a+b}{d+a+b}\)
Với a, b, c > 0. CMR : A không phải là số tự nhiên.
Ai làm nhanh và đúng nhứt mik tặng 3 tick nha !!!
Ta có : \(\frac{2a+b+c}{a+b+c}=\frac{a+a+b+c}{a+b+c}=1+\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{2b+c+d}{b+c+d}=\frac{b+b+c+d}{b+c+d}=1+\frac{b}{b+c+d}\)
\(\frac{2c+d+a}{d+a+c}=\frac{c+c+d+a}{d+a+c}=1+\frac{c}{d+a+c}\)
\(\frac{2d+a+b}{d+a+b}=\frac{d+d+a+b}{d+a+b}=1+\frac{d}{d+a+b}\)
Lại có:
M = \(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{d+a+c}+\frac{d}{d+a+b}\)
=> M \(>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{b+c+d+a}+\frac{c}{d+a+c+b}+\frac{d}{d+a+b+c}\)
\(=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)
=> M > 1 (1)
Và :
M = \(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{d+a+c}+\frac{d}{d+a+b}\)
Mà \(\frac{a}{a+b+c}< 1;\frac{b}{b+c+c}< 1;\frac{c}{d+a+c}< 1;\frac{d}{d+a+b}< 1\)
=> M \(< \frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{b+a}{b+c+d+a}+\frac{c+b}{d+a+c+b}+\frac{d+c}{a+b+c+d}\)
=> M \(< \frac{a+d+b+a+c+b+d+c}{a+b+c+d}\)
=> M \(< \frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\)
=> M< 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có 1 < M < 2. => M ko phải là số tự nhiên. Mà 1 là số tự nhiên => A ko phải là số tự nhiên
Vậy ..................(đpcm)
Cho \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}CMR\)
\(\frac{\left(a^2+b^2\right)^3}{\left(c^2+d^2\right)^3}=\frac{\left(a^3+b^3\right)^2}{\left(c^3+d^3\right)^2}\)
Ai nhanh vs gọn thì chọn cho
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}\Rightarrow\frac{a^3}{c^3}=\frac{b^3}{d^3}\)
áp dụng t.c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\Rightarrow\left(\frac{a^2}{c^2}\right)^3=\frac{\left(a^2+b^2\right)^3}{\left(a^2+d^2\right)^3}=\frac{a^6}{c^6}\left(1\right)\)
\(\frac{a^3}{c^3}=\frac{b^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3}\Rightarrow\left(\frac{a^3}{c^3}\right)^2=\frac{\left(a^3+b^3\right)^2}{\left(a^3+d^3\right)^2}=\frac{a^6}{c^6}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{\left(a^2+b^2\right)^3}{\left(c^2+d^2\right)^3}=\frac{\left(a^3+b^3\right)^2}{\left(c^3+d^3\right)^2}\left(đpcm\right)\)
CHo \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\) . CMR: \(\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{ \left(a+b+c\right)^3}{\left(b+c+d\right)^3}\)
Áp dụng tính chất.......
a/b=b/c=c/d=a+b+c/b+c+d suy ra (a/b)^3=(b/c)^3=(c/d)^3=(a+b+c)^3/(b+c+d)^3(1)
a/b= b/c=c/dsuy ra a^3/b^3=b^3/c^3=c^3/d^3(2)
Áp dụng tính chất .....
a^3/b^3=b^3/c^3=c^3/d^3=a^3+b^3+c^3/b^3+c^3+d^3 (3)
Từ 1,2 và 3 suy ra :a^3+b^3+c^3/b^3+c^3+d^3=(a+b+c)^3/(b+c+d)^3
Cho 3 số thực dương a, b, c. CMR: \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\) thì \(\frac{\left(a+b\right)^3}{c^3}+\frac{\left(b+c\right)^3}{a^3}+\frac{\left(c+a\right)^3}{b^3}=24\)
a + b + c = 3
a/( 1 + b^2 ) + b/( 1 + c^2 ) + c/( 1 + a^2 ) ≥ 3/2
Ta có
a/( 1 + b^2 ) = a - ab^2/( 1 + b^2 ) ≥ a - ab^2/2b = a - ab/2
Tương tự ta có
b/( 1 + c^2 ) ≥ b - bc/2
c/( 1 + a^2 ) ≥ c - ac/2
Cộng vào ta có
a/( 1 + b^2 ) + b/( 1 + c^2 ) + c/( 1 + a^2 ) ≥ a + b + c - ( ab + bc + ac )/2 = 3 - ( ab + bc + ac )/2
Xét ab + bc + ac
Ta có
a^2 + b^2 ≥ 2ab
b^2 + c^2 ≥ 2bc
c^2 + a^2 ≥ 2ac
=> a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ac
<=> a^2 + b^2 + c^2 + 2ac + 2bc + 2ab ≥ 3( ab + ac + bc )
<=> ( a + b + c )^2 ≥ 3( ab + ac + bc )
<=> ab + ac + bc ≤ 9:3 = 3
=> 3 - ( ab + bc + ac )/2 ≥ 3 - 3/2 = 3/2
=> a/( 1 + b^2 ) + b/( 1 + c^2 ) + c/( 1 + a^2 ) ≥
Theo dãy tỉ số bằng nhau , có :
\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}=2\)
\(\Rightarrow\left(\frac{b+c}{a}\right)^3=\left(\frac{c+a}{b}\right)^3=\left(\frac{a+b}{c}\right)^3=8\)
\(\Rightarrow\frac{\left(b+c\right)^3}{a^3}+\frac{\left(c+a\right)^3}{b^3}+\frac{\left(a+b\right)^3}{c^3}=8.3=24\)
1. Cho a,b,c > 0. Cmr :
\(\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}\ge\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)
2. Cho a,b,c > 0. Cmr :
\(\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c}\ge\frac{2}{3}\)
1.
\(P=\frac{a^4}{abc}+\frac{b^4}{abc}+\frac{c^4}{abc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3abc}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}{3abc\left(a+b+c\right)}\)
\(P\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right).3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}}{3abc\left(a+b+c\right)}=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
2.
\(P=\sum\frac{a^2}{ab+2ac+3ad}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4.\frac{3}{8}\left(a+b+c+d\right)^2}=\frac{2}{3}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=d\)
Thục Trinh, tran nguyen bao quan, Phùng Tuệ Minh, Ribi Nkok Ngok, Lê Nguyễn Ngọc Nhi, Tạ Thị Diễm Quỳnh,
Nguyễn Huy Thắng, ?Amanda?, saint suppapong udomkaewkanjana
Help me!
Bài thứ hai đó áp dụng bđt cauchy showas là ra rồi sử dụng tch bắc cầu tệ.