a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(GM = \dfrac{1}{3}AM\)

Kẻ \(BP \bot AM\) ta có

 \(\begin{array}{l}{S_{GMP}} = \dfrac{1}{2}BP.GM\\{S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}BP.AM\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{GMP}}}}{{{S_{ABM}}}} = \dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{GMP}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABM}}\)(1)                         

Tương tự, kẻ \(CN \bot AM\), ta có  

\(\begin{array}{l}{S_{GMC}} = \dfrac{1}{2}CN.GM\\{S_{ACM}} = \dfrac{1}{2}CN.AM\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{GMC}}}}{{{S_{ACM}}}} = \dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{GMC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ACM}}\left( 2 \right)\end{array}\)

Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có: 

\(\begin{array}{l}{S_{GMB}} + {S_{GMC}} = \dfrac{1}{3}\left( {{S_{AMC}} + {S_{ABM}}} \right)\\ \Rightarrow {S_{GBC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\end{array}\)

b) 

Ta có

\(\begin{array}{l}{S_{GAB}} = \dfrac{1}{2}BP.AG\\{S_{GAC}} = \dfrac{1}{2}CN.AG\end{array}\)

Xét \(\Delta BPM\) và \(\Delta CNM\) có:

\(\widehat {BPM} = \widehat {CNM} = {90^0}\)

 BM = CM ( M là trung điểm của BC)

\(\widehat {PMB} = \widehat {CMN}\)(2 góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta BPM = \Delta CNM\)(cạnh huyền – góc nhọn)

\( \Rightarrow \) BP = CN (cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow {S_{GAB}} = {S_{GAC}}\)

Ta có: \(AG = \dfrac{2}{3}AM\)

\(\begin{array}{l}{S_{ACB}} = {S_{GAB}} + {S_{GAC}} + {S_{GCB}}\\ \Rightarrow {S_{ACB}} = {S_{GAB}} + {S_{GAC}} + \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\\ \Rightarrow \dfrac{2}{3}{S_{ABC}} = 2{S_{GAC}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{3}{S_{ABC}} = {S_{GAC}} = {S_{GAB}}\end{array}\)

Bài 2: 

Ta có: AM=1/2BC

nên AM=BM=CM

Xét ΔMAB có MA=MB

nên ΔMAB cân tại M

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{B}\)

Xét ΔMAC có MA=MC

nên ΔMAC cân tại M

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{C}\)

Xét ΔBAC có \(\widehat{BAC}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{MAB}+\widehat{B}+\widehat{MAC}+\widehat{C}=180^0\)

\(\Leftrightarrow2\cdot\left(\widehat{MAB}+\widehat{MAC}\right)=180^0\)

=>\(\widehat{BAC}=90^0\)

hay ΔABC vuông tại A

a) G là trọng tâm của \(\Delta\)ABC nên M

là trung điểm của AC và BG = \(\dfrac{2}{3}BM\)

S_GBC = \(\dfrac{2}{3}s_{MBC}\) (2 tam giác GBC , MBC chung đường cao vẽ từ C đến BM và BG =\(\dfrac{2}{3}BM\))

b) S_MBC = \(\dfrac{1}{2}s_{ABC}\) ( 2 tam giác MBC , ABC chung đường cao vẽ từ B đến AC, MC = \(\dfrac{1}{2}AC\))

Mà S_MBC =\(\dfrac{2}{3}S_{MBC}\) ( câu a ). Do đó S_GBC =\(\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}S_{MBC}\) = \(\dfrac{1}{3}S_{ABC}\)

Tương tự có S_GAB = \(\dfrac{1}{3}S_{ABC}\) , S_GAB =\(\dfrac{1}{3}S_{ABC}\)

c: góc ADI=90 độ-góc ABD

góc AID=góc BIH=90 độ-góc DBC

mà góc ABD=góc DBC

nên góc ADI=góc AID

=>ΔAID cân tại A

d: Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên DA/DC=BA/BC=3/5

=>S BAD/S BDC=3/5