Bài 2: Hình thang

 

MN//EF

=>\(\widehat{N}+\widehat{E}=180^0\)

mà \(\widehat{N}=\widehat{E}\)

nên \(\widehat{N}=\widehat{E}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

\(5\cdot\widehat{N}=4\cdot\widehat{F}\)

=>\(\widehat{F}=\dfrac{5}{4}\cdot\widehat{N}=\dfrac{5}{4}\cdot90=112.5^0\)

MN//EF

=>\(\widehat{M}+\widehat{F}=180^0\)

=>\(\widehat{M}=180^0-112.5^0=67.5^0\)

Ta có:

\(A-B=C-D\)

\(\Rightarrow A+D=B+C\)

Mặt khác:

\(A+B+C+D=360^o\)

\(\Rightarrow2\left(A+D\right)=360^o\left(A+D=B+C\right)\)

\(\Rightarrow A+D=180^o\)

Mà 2 góc có vị trí trong cùng phía

=> AB//CD

=> ABCD là hình thang

A-B=C-D

=>A-B+D-C=0

=>A+D-B-C=0

mà A+D+B+C=360

nên A+D=360/2=180

=>AB//CD

=>ABCD là hình thang

Bài 3:

a: Xét tứ giác BFED có

BF//ED

BD//FE

Do đó: BFED là hình bình hành

=>DE=BF

mà BF=AE

nên EA=ED

=>ΔEAD cân tại E

b: ΔEAD cân tại E

=>\(\widehat{EAD}=\widehat{EDA}\)

mà \(\widehat{EDA}=\widehat{BAD}\)(ED//AB)

nên \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)

=>AD là phân giác của góc BAC

Bài 4:

a: Ta có: BN\(\perp\)AC

DM\(\perp\)AC

Do đó: BN//DM

Xét tứ giác BMDN có

BM//DN

BN//DM

Do đó: BMDN là hình bình hành

b: Xét ΔKAD vuông tại K và ΔHCB vuông tại H có

AD=CB

\(\widehat{KAD}=\widehat{HCB}\)(hai góc so le trong, AD//CB)

Do đó: ΔKAD=ΔHCB

=>DK=HB và KA=HC

Xét tứ giác BHDK có

BH//DK

BH=DK

Do đó; BHDK là hình bình hành

c: Ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: BMDN là hình bình hành

=>BD cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AC,BD,MN đồng quy

 

Ta có: \(\widehat{KAB}=\widehat{KAD}\)(AK là phân giác của góc BAD)

\(\widehat{BAK}=\widehat{DKA}\)(hai góc so le trong, AB//DK)

Do đó: \(\widehat{DAK}=\widehat{DKA}\)

=>DA=DK

Ta có: \(\widehat{ABK}=\widehat{CBK}\)(BK là phân giác của góc ABC)

\(\widehat{ABK}=\widehat{CKB}\)(hai góc so le trong, AB//CK)

Do đó: \(\widehat{CBK}=\widehat{CKB}\)

=>CK=CB

Ta có: AD+CB

=DK+KC

=DC

Bài 2:

a: Ta có: \(\widehat{ADE}=\widehat{EDC}=\dfrac{\widehat{ADC}}{2}\)(DE là phân giác của góc ADC)

\(\widehat{ABF}=\widehat{CBF}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\)(BF là phân giác của góc ABC)

mà \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\)

nên \(\widehat{ADE}=\widehat{EDC}=\widehat{ABF}=\widehat{CBF}\)

Ta có: \(\widehat{AED}=\widehat{EDF}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

\(\widehat{EDF}=\widehat{EBF}\)(cmt)

Do đó: \(\widehat{AED}=\widehat{EBF}\)

=>DE//BF

b: Xét tứ giác BEDF có

BE//DF

BF//DE

Do đó: BEDF là hình bình hành

a: Xét hình thang AEFD có

O là trung điểm của EF

OM//DF//AE

Do đó: M là trung điểm của AD

Xét hình thang ABCD có

M là trung điểm của AD

MN//AB//DC

Do đó: N là trung điểm của BC

Em kiểm tra chất lượng hiển thị, đề không rõ.

a) Chứng minh AMCN là hình bình hành:

Vì ABCD là hình bình hành, nên các cạnh đối nhau song song và bằng nhau.Điểm M được lấy trên cạnh AB, điểm N được lấy trên cạnh CD, nên AM//CN.Vì DM-CN, nên AM=CN.Như vậy, AMCN là hình bình hành vì có các cạnh đối nhau song song và bằng nhau.

b) Chứng minh M, O, N thẳng hàng:

Vì ABCD là hình bình hành, nên các đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O.Điểm M được lấy trên cạnh AB, điểm N được lấy trên cạnh CD, nên AM//CN.Vì DM-CN, nên các đường thẳng AM và CN cắt nhau tại điểm O.Như vậy, M, O, N thẳng hàng vì chúng nằm trên cùng một đường thẳng đi qua điểm giao O của hai đường chéo của hình bình hành.

Vì vậy, ta đã chứng minh được: a) AMCN là hình bình hành. b) M, O, N thẳng hàng.

  A

Bài 1:

ΔDMK vuông tại M

=>\(DM^2+MK^2=DK^2\)

=>\(DM^2=12^2-10^2=44\)

=>\(DM=2\sqrt{11}\left(cm\right)\)

ΔDMN vuông tại D

=>\(DM^2+DN^2=MN^2\)

=>\(DN^2+44=324\)

=>\(DN^2=280\)

=>\(DN=2\sqrt{70}\left(cm\right)\)

Bài 2:

ΔGNH vuông tại G

=>\(GN^2+GH^2=HN^2\)

=>\(HN^2=8^2+12^2=208\)

=>\(HN=4\sqrt{13}\left(cm\right)\)

Xét ΔGNH vuông tại G có \(cosGNH=\dfrac{GN}{HN}=\dfrac{2}{\sqrt{13}}\)

=>\(cosNHM=\dfrac{2}{\sqrt{13}}\left(\widehat{GNH}=\widehat{NHM}\right)\) do GN//HM

Xét ΔNHM có \(cosNHM=\dfrac{HN^2+HM^2-NM^2}{2\cdot HN\cdot HM}\)

=>\(\dfrac{52+HM^2-484}{2\cdot4\sqrt{13}\cdot HM}=\dfrac{2}{\sqrt{13}}\)

=>\(HM^2-432=\dfrac{2}{\sqrt{13}}\cdot2\cdot4\sqrt{13}\cdot HM\)

=>\(HM^2-432=16HM\)

=>\(HM^2-16HM-432=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}HM=8+4\sqrt{31}\left(cm\right)\left(nhận\right)\\HM=8-4\sqrt{31}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)