\(...\Leftrightarrow\dfrac{x+y+1}{6xy}=\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow x+y+1=xy\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)=2\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3;y=2\\x=2;y=3\end{matrix}\right.\)

Mình biến đổi nhầm. Nhưng theo hướng đó bạn có thể làm cách khác.

Quy đồng mẫu

X+Y=XY-1=a

X và Y và 2 nghiệm dương của pt

X²-ax+a+1

Để pt có nghiệm nguyên thì

Delta phải chính phương 

<=> a²-4a-4=K²<=> -8=(K-a+2).(k+a-2)

Tìm ước dể rồi nhé

Đặt \(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=a\\\dfrac{1}{y}=b\end{matrix}\right.\).

Ta có hệ: \(\left[{}\begin{matrix}a+b=\dfrac{1}{16}\\3a+6b=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

`<=>` \(\left[{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{24}\\b=\dfrac{1}{48}\end{matrix}\right.\)

`=>` \(\left[{}\begin{matrix}x=24\\y=48\end{matrix}\right.\)

Vậy `(x;y)=(24;48)`.

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{6}\\\dfrac{\dfrac{2}{3}}{x}+\dfrac{\dfrac{2}{3}}{y}+\dfrac{\dfrac{8}{9}}{y}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{6}\\\dfrac{\dfrac{2}{3}}{x}+\dfrac{\dfrac{14}{9}}{y}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{6}\left(1\right)\\\dfrac{2}{3x}+\dfrac{14}{9y}=1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Nhân cả hai vế (1) cho \(\dfrac{2}{3}\) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{3x}+\dfrac{2}{3y}=\dfrac{5.2}{6.3}\\\dfrac{2}{3x}+\dfrac{14}{9y}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{3x}+\dfrac{2}{3y}=\dfrac{10}{18}\left(3\right)\\\dfrac{2}{3x}+\dfrac{14}{9y}=1\left(4\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (4) trừ (3) ta có:

\(\dfrac{14}{9y}-\dfrac{2}{3y}=1-\dfrac{10}{18}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{8}{9y}=\dfrac{4}{9}\)\(\Leftrightarrow y=2\Rightarrow x=\dfrac{1}{\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2}}=3\)

c, x^3 - y^3 = xy + 8

1) Nếu x-y <= -1
(x -y)(x^2 + xy + y^2) = xy +8
=> (x -y)(x^2 + xy + y^2) <= -(x^2 + xy +y^2)
=> xy +8 <= -(x^2 + xy +y^2)
=> (x+y)^2 + 8 <=0 => Vô nghiệm

2) Nếu x-y =0 => x=y , Vô nghiệm

3) x- y>=1
=> (x -y)(x^2 + xy + y^2) >= x^2 + xy + y^2
=> xy + 8 >= x^2 + xy + y^2
=> x^2 + y^2 <=8
=> x^2 <=8

=> x=0 => y= -2
=> x= 1 => y + y^3 + 7 =0 (loại)

đặt 1/2x-y là a

1/x+y là b

hpt ta đc:

3.a-6.b=1

a-b=0

( giải đi pạn)

ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge2011\\y\ge2012\\z\ge2013\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{x-2011}\ge0\\b=\sqrt{y-2012}\ge0\\c=\sqrt{z-2013}\ge0\end{matrix}\right.\) ta có :

\(\frac{a-1}{a^2}+\frac{b-1}{b^2}+\frac{c-1}{c^2}=\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a}+\frac{1}{4}+\frac{1}{b^2}-\frac{1}{b}+\frac{1}{4}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{c}+\frac{1}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{2}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2015\\y=2016\\z=2017\end{matrix}\right.\)

\(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=4\)

\(\Rightarrow x+y+\dfrac{x+y}{xy}=4\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(xy+1\right)=4xy\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=u\\xy=v\end{matrix}\right.\) với \(u;v\in Z\) và \(u^2\ge4v\); \(v\ne0\)

\(\Rightarrow u\left(v+1\right)=4v\)

\(\Rightarrow u=\dfrac{4v}{v+1}=4-\dfrac{4}{v+1}\)

\(\Rightarrow v+1=Ư\left(4\right)\Rightarrow v+1=\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}\)

\(\Rightarrow v=\left\{-5;-3;-2;1;3\right\}\)

\(\Rightarrow u=\left\{5;6;8;2;3\right\}\)

Loại cặp \(\left(u;v\right)=\left(3;3\right)\) không thỏa mãn \(u^2\ge4v\)

Ta được \(\left(u;v\right)=\left(5;-5\right);\left(6;-3\right);\left(8;-2\right);\left(2;1\right)\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=5\\xy=-5\end{matrix}\right.\) không tồn tại x;y nguyên thỏa mãn

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=6\\xy=-3\end{matrix}\right.\) ko tồn tại x;y nguyên thỏa mãn

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=8\\xy=-2\end{matrix}\right.\) không tồn tại x;y nguyên thỏa mãn

TH4: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\xy=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=1\)

Vậy pt có đúng 1 cặp nghiệm nguyên \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\)

ĐKXĐ: x<>0; y<>0

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{x}+\dfrac{3}{y}=1\\\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{x}+\dfrac{3}{y}=1\\\dfrac{6}{x}+\dfrac{3}{y}=-3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{x}=4\\\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{4}\\\dfrac{1}{y}=-1-\dfrac{2}{x}=-1-2:\dfrac{-1}{4}=-1+8=7\end{matrix}\right.\)

=>x=-1/4 và y=1/7

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\y\ne0\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{x}\\b=\dfrac{1}{y}\end{matrix}\right.\) 

Hệ phương trình trở thành \(\left\{{}\begin{matrix}5a+3b=1\\2a+b=-1\end{matrix}\right.\)

 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-1-2a\\5a+3\left(-1-2a\right)=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-1-2a\\-a-3=1\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-4\\b=-1-2.\left(-4\right)\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-4\\b=7\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{x}=-4\\b=\dfrac{1}{y}=7\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{4}\left(tm\right)\\y=\dfrac{1}{7}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy HPT có nghiệm \(x=-\dfrac{1}{4}\) và \(y=\dfrac{1}{7}\)