Hệ phương trình đã cho tương đương với:

\(\hept{\begin{cases}x^3-y^3=2\left(4x+y\right)\\x^2-3y^2=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x^3-3y^3=6\left(4x+y\right)\left(1\right)\\x^2-2y^2=6\left(2\right)\end{cases}}\)

Thay (2) và (1), ta được: \(3x^3-3y^3=\left(x^2-2y^2\right)\left(4x+y\right)\Leftrightarrow x^3+x^2y-12xy^2=0\)(*)

- Xét x = 0 thì ta dễ thấy không thỏa mãn

- Xét \(x\ne0\)ta chia cả hai vế của phương trình (*) cho x³, ta được\(1+\left(\frac{y}{x}\right)-12\left(\frac{y}{x}\right)^2=0\)

Đặt \(\frac{y}{x}=s\), ta được: \(-12s^2+s+1=0\Leftrightarrow\left(1-3s\right)\left(4s+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}s=\frac{1}{3}\\s=-\frac{1}{4}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=3y\\x=-4y\end{cases}}\)

Với x = 3y thay vào (2), ta được: \(9y^2-3y^2=6\Leftrightarrow6y^2=6\Leftrightarrow y=\pm1\Rightarrow x=\pm3\)

Với x = -4y thay vào (2) ta được:\(16y^2-3y^2=6\Leftrightarrow13y^2=6\Leftrightarrow y=\pm\sqrt{\frac{6}{13}}\Rightarrow x=\mp\sqrt{\frac{96}{13}}\)

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là \(\left\{\left(1;3\right);\left(-1;-3\right);\left(\sqrt{\frac{6}{13}};-\sqrt{\frac{96}{13}}\right);\left(-\sqrt{\frac{3}{16}};\sqrt{\frac{96}{13}}\right)\right\}\)

Để ý rằng nếu nhân chéo 2 phương trình của hệ ta có

\(6\left(x^3+y^3\right)=\left(8x+2y\right)\left(x^2+3y^2\right)\) đây là hệ phương trình đẳng cấp bậc 3, Từ đó ta giải như sau

Vì x=0 không là nghiệm của hệ nên ta đặt y=tx khi đó hệ trở thành

\(\hept{\begin{cases}x^3-8x=t^3x^3+2tx\\x^2-3=3\left(t^2x^2+1\right)\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2\left(1-t^3\right)=2t+8\\x^2\left(1-3t^2\right)=6\end{cases}}\Rightarrow\frac{1-t^3}{1-3t^2}=\frac{t+4}{3}}\)

\(\Leftrightarrow3\left(1-t^3\right)=\left(t+4\right)\left(1-3t^2\right)\Leftrightarrow12t^2-t-1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=\frac{1}{3}\\t=-\frac{1}{4}\end{cases}}\)

* \(t=\frac{1}{3}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2\left(1-3t^2\right)=6\\y=\frac{x}{3}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm3\\y=\pm1\end{cases}}}\)

*\(t=-\frac{1}{4}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm\frac{4\sqrt{78}}{13}\\y=\mp\frac{\sqrt{78}}{13}\end{cases}}\)

Vậy hệ phương trình có các cặp nghiệm \(\left(x;y\right)=\left\{\left(3;1\right);\left(-3;-1\right);\left(\frac{4\sqrt{78}}{13};\frac{\sqrt{78}}{13}\right);\left(-\frac{4\sqrt{78}}{13};-\frac{\sqrt{78}}{13}\right)\right\}\)

Bạn tham khảo cách giải:

Bạn tham khảo cách giải: 

Bạn tham khảo cách giải: 

ĐKXĐ: ...

\(x^2+3x-4-\left(x-1\right)\sqrt{y+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+4\right)-\left(x-1\right)\sqrt{y+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+4-\sqrt{y+2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x+4=\sqrt{y-2}\end{matrix}\right.\)

- Với \(x=1\Rightarrow\sqrt{22}+\sqrt{10-y}=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{10-y}=3-\sqrt{22}< 0\) (vô nghiệm)

- Với \(x+4=\sqrt{y-2}\) (\(x\ge-4\))

Thay xuống dưới:

\(\sqrt{\left(x+4\right)^2-3}+\sqrt{10-y}=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y-2-3}+\sqrt{10-y}=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{y-5}+\sqrt{10-y}=3\)

\(\Leftrightarrow5+2\sqrt{-y^2+15y-50}=9\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{-y^2+15y-50}=2\)

\(\Leftrightarrow y^2-15y+54=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=9\Rightarrow x=\sqrt{7}-4\\y=6\Rightarrow x=-2\end{matrix}\right.\)

a:

ĐKXĐ: y+1>=0

=>y>=-1

 \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x^2-2x\right)+\sqrt{y+1}=0\\3\left(x^2-2x\right)-2\sqrt{y+1}+7=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(x^2-2x\right)+\sqrt{y+1}=0\\3\left(x^2-2x\right)-2\sqrt{y+1}=-7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4\left(x^2-2x\right)+2\sqrt{y+1}=0\\3\left(x^2-2x\right)-2\sqrt{y+1}=-7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}7\left(x^2-2x\right)=-7\\3\left(x^2-2x\right)-2\sqrt{y+1}=-7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x=-1\\3\cdot\left(-1\right)-2\sqrt{y+1}=-7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x+1=0\\2\sqrt{y+1}=-3+7=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=0\\\sqrt{y+1}=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y+1=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

b: \(\left\{{}\begin{matrix}5\left|x-1\right|-3\left|y+2\right|=7\\2\sqrt{4x^2-8x+4}+5\sqrt{y^2+4y+4}=13\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}5\left|x-1\right|-3\left|y+2\right|=7\\2\cdot\sqrt{\left(2x-2\right)^2}+5\cdot\sqrt{\left(y+2\right)^2}=13\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}5\left|x-1\right|-3\left|y+2\right|=7\\4\left|x-1\right|+5\left|y+2\right|=13\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}20\left|x-1\right|-12\left|y+2\right|=28\\20\left|x-1\right|+25\left|y+2\right|=65\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-37\left|y+2\right|=-37\\4\left|x-1\right|+5\left|y+2\right|=13\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left|y+2\right|=1\\4\left|x-1\right|=13-5=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|y+2\right|=1\\\left|x-1\right|=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-1\in\left\{2;-2\right\}\\y+2\in\left\{1;-1\right\}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in\left\{3;-1\right\}\\y\in\left\{-1;-3\right\}\end{matrix}\right.\)

c: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x< >-1\\y< >-4\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3x}{x+1}-\dfrac{2}{y+4}=4\\\dfrac{2x}{x+1}-\dfrac{5}{y+4}=9\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3x+3-3}{x+1}-\dfrac{2}{y+4}=4\\\dfrac{2x+2-2}{x+1}-\dfrac{5}{y+4}=9\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3-\dfrac{3}{x+1}-\dfrac{2}{y+4}=4\\2-\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{5}{y+4}=9\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x+1}+\dfrac{2}{y+4}=3-4=-1\\\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{5}{y+4}=2-9=-7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{6}{x+1}+\dfrac{4}{y+4}=-2\\\dfrac{6}{x+1}+\dfrac{15}{y+4}=-21\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-11}{y+4}=19\\\dfrac{3}{x+1}+\dfrac{2}{y+4}=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y+4=-\dfrac{11}{19}\\\dfrac{3}{x+1}+2:\dfrac{-11}{19}=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{11}{19}-4=-\dfrac{87}{19}\\\dfrac{3}{x+1}=-1-2:\dfrac{-11}{19}=-1+2\cdot\dfrac{19}{11}=\dfrac{27}{11}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{87}{19}\\x+1=\dfrac{11}{9}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{87}{19}\\x=\dfrac{2}{9}\end{matrix}\right.\)(nhận)

d:

ĐKXĐ: x<>1 và y<>-2

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+1}{x-1}+\dfrac{3y}{y+2}=7\\\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{5}{y+2}=4\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x-1+2}{x-1}+\dfrac{3y+6-6}{y+2}=7\\\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{5}{y+2}=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}1+\dfrac{2}{x-1}+3-\dfrac{6}{y+2}=7\\\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{5}{y+2}=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{6}{y+2}=7-4=3\\\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{5}{y+2}=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{y+2}=-1\\\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{5}{y+2}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+2=1\\\dfrac{2}{x-1}-5=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\\dfrac{2}{x-1}=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x-1=\dfrac{2}{9}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=\dfrac{11}{9}\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{matrix}\right.\)

☘ Ta có:

\(yz=\dfrac{\left(y+z\right)^2-\left(y^2+z^2\right)}{2}\)

\(=\dfrac{\left(1-x\right)^2-\left(1-x^2\right)}{2}=x^2-x\)

☘ Thay vào phương trình thứ 3

\(\Rightarrow1=x^3+y^3+z^3=x^3+\left(y+z\right)^3-3yz\left(y+z\right)\)

\(=x^3+\left(1-x\right)^3-3\left(x^2-x\right)\left(1-x\right)\)

\(=1+3x^3-3x^2\)

\(\Rightarrow3x^2\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)

⚠ Chia thành hai trường hợp, rồi tự giải tiếp nhé.

⚠ Nguồn: Ý tưởng xuất phát từ [Báo TTT - số 71 mục "Thi giải toán qua thư"]

⚠ Có thể có cách khác ngắn gọn, dễ hiểu hơn.

✿ Another way ✿

☘ Ta có:

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow xy+z\left(x+y\right)=0\)

\(\Rightarrow xy=-z\left(x+y\right)=-z\left(1-z\right)=z^2-z\left(1\right)\)

☘ Mặt khác

\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)

\(\Rightarrow xyz=0\left(2\right)\)

☘ Thay (1) vào (2)

\(\Rightarrow z\left(z^2-z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z=0\\z=1\end{matrix}\right.\)

⚠ Cũng chia thành hai trường hợp rồi giải tiếp nhé.

1) Cộng vế theo vế ta được

\(2x^2+3xy+y^2-7x-5y+6=0\)

\((x+y-2)(2x+y-3)=0\)

Thay vào phương trình giải bình thường

2) Nhận thấy \(y=0\)không là nghiệm của hpt trên.Vì thế nhân cả 2 vế của (2) cho 18y ta được:\(72x^2y^{2}+108xy=18y^3\) (3)
Lấy (1) trừ (3) ta được:\(8x^3y^3-72x^2y^{2}-108xy+27=0 \)
Đến đây đặt \(a=xy\) giải bình thường

\(\hept{\begin{cases}5\left|x-1\right|-3\left|y+2\right|=7\\2\sqrt{4x^2-8x+4}+5\sqrt{y^2+4y+4}=13\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}5\left|x-1\right|-3\left|y+2\right|=7\\2\sqrt{\left(2x-2\right)^2}+5\sqrt{\left(y+2\right)^2}=13\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}5\left|x-1\right|-3\left|y+2\right|=7\\2\left|2x-2\right|+5\left|y+2\right|=13\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}5\left|x-1\right|-3\left|y+2\right|=7\\4\left|x-1\right|+5\left|y+2\right|=13\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}\left|x-1\right|=2\\\left|y+2\right|=1\end{cases}}\)

Em tự làm tiếp ( hệ có 4 nghiệm nhé!)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3-y^3=2y+8x\\x^2-3y^2=6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^3-3y^3=6\left(y+4x\right)\\x^2-3y^2=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow3x^3-3y^3=\left(x^2-3y^2\right)\left(y+4x\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^3-3y^3=x^2y+4x^3-3y^3-12y^2x\)

\(\Leftrightarrow x^3+x^2y-12xy^2=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x^2+xy-12y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-3y\right)\left(x+4y\right)=0\)

Đến đây thì dễ rồi