PTHĐGĐ là:

x^2-(m-1)x-2=0

a=1; c=-2

Vì ac<0

nên (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

y1+y2=2y1y2

=>(x1+x2)^2-2x1x2=2(x1x2)^2

=>(m-1)^2-2(-2)=2(-2)^2

=>(m-1)^2=2*4-4=4

=>m-1=2 hoặc m-1=-2

=>m=3 hoặc m=-1

b: x1=3x2 và x1+x2=2m-2

=>3x2+x2=2m-2 và x1=3x2

=>x2=0,5m-0,5 và x1=1,5m-1,5

x1*x2=-2m

=>-2m=(0,5m-0,5)(1,5m-1,5)

=>-2m=0,75(m^2-2m+1)

=>0,75m^2-1,5m+0,75+2m=0

=>\(m\in\varnothing\)

c: x1/x2=3

x1+x2=2m-2

=>x1=3x2 và x1+x2=2m-2

Cái này tương tự câu b nên kết quả vẫn là ko có m thỏa mãn

PTHĐGĐ là:

x^2-(2m+1)x+2m=0

Δ=(2m+1)^2-4*2m

=4m^2+4m+1-8m=(2m-1)^2

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì 2m-1<>0

=>m<>1/2

y1+y2-x1x2=1

=>(x1+x2)^2-3x1x2=1

=>(2m+1)^2-3*2m=1

=>4m^2+4m+1-6m-1=0

=>4m^2-2m=0

=>m=0 hoặc m=1/2(loại)

1.

Pt hoành độ giao điểm: \(x^2-2\left(m+1\right)x+3m-4=0\)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(3m-4\right)=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{19}{4}>0;\forall m\)

\(\Rightarrow\)d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

Do \(x_1\) là nghiệm của pt nên:

\(x_1^2-2\left(m+1\right)x_1+3m-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-1\right)^2=2mx_1-3m+5\)

Thay vào bài toán:

\(3\left(2mx_1-3m+5\right)+2\left(x_2-5\right)\left(3m-4+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow6mx_1-9m+15+6mx_2-30m=0\)

\(\Leftrightarrow2m\left(x_1+x_2\right)-13m+5=0\)

\(\Leftrightarrow4m\left(m+1\right)-13m+5=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-9m+5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=\frac{5}{4}\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x-2y=4m-2\\ x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\Rightarrow 7x=7m\) (cộng 2 PT theo vế)

$\Rightarrow x=m$

$\Rightarrow y=3x-(2m-1)=3m-(2m-1)=m+1$

Khi đó:

$2x^2+y^2=6$

$\Leftrightarrow 2m^2+(m+1)^2=6$

$\Leftrightarrow 3m^2+2m-5=0$

$(m-1)(3m+5)=0\Rightarrow m=1$ hoặc $m=\frac{-5}{3}$

2.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x-2y=4m-2\\x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=7m\\x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m\\y=m+1\end{matrix}\right.\)

\(2x^2+y^2=6\)

\(\Leftrightarrow2m^2+\left(m+1\right)^2=6\)

\(\Leftrightarrow3m^2+2m-5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-\frac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

\(1,\Leftrightarrow\Delta=64-4\left(2m+6\right)\ge0\\ \Leftrightarrow40-8m\ge0\\ \Leftrightarrow m\le5\\ 2,\Leftrightarrow\Delta=4\left(m-1\right)^2-4\left(2m-6\right)>0\\ \Leftrightarrow4m^2-8m+4-8m+24>0\\ \Leftrightarrow2\left(m^2-4m+4\right)+6>0\\ \Leftrightarrow2\left(m-2\right)^2+6>0\left(\text{luôn đúng}\right)\\ \Leftrightarrow m\in R\)

a, Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(2\left(2m^2-3m-5\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-5\right)\left(m+1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow-1< m< \dfrac{5}{2}\)

b, TH1: \(m^2-3m+2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=2\end{matrix}\right.\)

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

TH2: \(m^2-3m+2\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne2\end{matrix}\right.\)

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(-5\left(m^2-3m+2\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow m^2-3m+2>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< 1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m>2\) hoặc \(m< 1\)

c, Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu \(x_1,x_2\) khi \(m^2-2m< 0\Leftrightarrow0< m< 2\)

Theo định lí Viet: \(x_1+x_2=2\left(m-1\right)\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(x_1+x_2< 0\Leftrightarrow2\left(m-1\right)< 0\Leftrightarrow m< 1\)

Vậy \(0< m< 1\)