\(S=C_{100}^1-C_{100}^2+...-C_{100}^{100}\)

Ta có:

\(\Rightarrow S_1=C_{100}^0-C_{100}^1+C_{100}^2+...+C_{100}^{100}=0\)

\(\Rightarrow C_{100}^0=C_{100}^1-C_{100}^2+...-C_{100}^{100}=1\)(chuyển vế)

Vậy \(S=1\)

\(S=1C_{100}^1+\left(4+1\right)C_{100}^2+\left(4.2+1\right)C_{100}^3+...+\left(4.99+1\right)C_{100}^{100}\)

\(=C_{100}^1+C_{100}^2+...+C_{100}^{100}+4\left(1.C_{100}^2+2.C_{100}^3+...+99C_{100}^{100}\right)\)

\(=2^{100}-1+4S_1\)

Xét khai triển:

\(\left(1+x\right)^{100}=C_{100}^0+xC_{100}^1+x^2C_{100}^2+...+x^{100}C_{100}^{100}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(1+x\right)^{100}}{x}=\dfrac{C_{100}^0}{x}+C_{100}^1+xC_{100}^2+...+x^{99}C_{100}^{100}\)

Đạo hàm 2 vế:

\(\dfrac{100x\left(1+x\right)^{99}-\left(1+x\right)^{100}}{x^2}=-\dfrac{C_{100}^0}{x^2}+C_{100}^2+2xC_{100}^3+...+99x^{98}C_{100}^{100}\)

Thay \(x=1\)

\(\Rightarrow100.2^{99}-2^{100}=-1+S_1\)

\(\Rightarrow S_1=49.2^{100}+1\)

\(\Rightarrow S=2^{100}-1+4\left(49.2^{100}+1\right)=...\)

Xét khai triển: 

\(\left(x+1\right)^{20}=C_{20}^0+C_{20}^1x+C_{20}^2x^2+...+C_{20}^{20}x^{20}\)

Chia 2 vế cho x ta được:

\(\dfrac{\left(x+1\right)^{20}}{x}=\dfrac{1}{x}+C_{20}^1+C_{20}^2x+...+C_{20}^{20}.x^{19}\)

Thay \(x=2\)

\(\Rightarrow\dfrac{3^{20}}{2}=\dfrac{1}{2}+C_{20}^1+2C_{20}^2+2^2C_{20}^3+...+2^{19}C_{20}^{20}\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{3^{20}-1}{2}\)

`S=C_20 ^1 + 2C_20 ^2 + 2^2 C_20 ^3 +....+2^19 C_20 ^20`

`<=>2S=2C_20 ^1+2^2 C_20 ^2 + 2^3 C_20 + .... + 2^20 C_20 ^20`

`<=>2S=C_20 ^0 +2C_20 ^1+2^2 C_20 ^2 + 2^3 C_20 + .... + 2^20 C_20 ^20 -C_20 ^0`

`<=>2S=(1+2)^20-1`

`<=>2S=3^20-1`

`<=>S=[3^20 -1]/2`

a.

Xét khai triển:

\(\left(1+x\right)^{14}=C_{14}^0+C_{14}^1x+...+C_{14}^{14}x^{14}\)

Đạo hàm 2 vế:

\(14\left(1+x\right)^{13}=C_{14}^1+2C_{14}^2x+...+14C_{14}^{14}x^{13}\)

Cho \(x=-1\) ta được:

\(0=C_{14}^1-2C_{14}^2+...-14C_{14}^{14}\)

\(\Rightarrow S=0\)

b. Xét khai triển:

\(\left(1+2x\right)^9=C_9^0+C_9^1\left(2x\right)+C_9^2\left(2x\right)^2+...+C_9^9\left(2x\right)^9\)

\(=C_9^9+C_9^8\left(2x\right)+C_9^7\left(2x\right)^2+...+C_9^0\left(2x\right)^9\)

Đạo hàm 2 vế:

\(18\left(1+2x\right)^8=2C_9^8+2.2^3C_9^7x+3.2^4C_9^6x^2+...+9.2^9C_9^0x^8\)

\(\Rightarrow9\left(1+2x\right)^8=C_9^8+2.2^2C_9^7x+...+9.2^8C_9^0x^8\)

Cho \(x=-1\)

\(\Rightarrow9=C_9^8-2.2^2C_9^7+...+9.2^8C_9^0\)

\(\Rightarrow S=9\)

Ta có: Xét với $a^3-a;a∈Z$

$=a(a^2-1)$

$=(a-1)a(a+1)$

Ta thấy với $a∈Z$ thì $(a-1);a;(a+1)$ là 3 số nguyên liên tiếp

$⇒$Có 1 số chia hết cho 3; ít nhất  1 số chia hết cho 2

$⇒\begin{cases}(a-1)a(a+1) \vdots 3\\ (a-1)a(a+1) \vdots 2\end{cases}$

$⇒(a-1)a(a+1) \vdots 6$ (do $(3;2)=1$)

Hay $a^3-a \vdots 6$

Vậy ta có: $a_1^3-a_1 \vdots 6;a_2^3-a_2 \vdots 6;a_100^3-a^100 \vdots 6$

$⇒a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_100^3-(a_1+a_2+a_3+...+a_100) \vdots 6$

$⇒a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_100^3 \equiv a_1+a_2+a_3+...+a_100 (mod 6)$

Mà $a_1+a_2+a_3+...+a_100=2021^{2022}$

$2021 \equiv 5 (mod 6)$

$⇒2021^{2022} \equiv 5^{2022} (mod  6)$

Mà $5 \equiv -1 (mod 6)$

$⇒5^{2022} \equiv 1 (mod 6)$

$⇒2021^{2022} \equiv 1 (mod 6)$

tức $a_1+a_2+a_3+...+a_100 \equiv 1 (mod 6)$

Mà $a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_100^3 \equiv a_1+a_2+a_3+...+a_100 (mod 6)$

$⇒a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_100^3 \equiv 1 (mod 6)$

$⇒S \equiv 1 (mod 6)$

Hay $S-1 \vdots 6$ (đpcm)

uses crt;

var s,i:integer;

begin

clrscr;

s:=0;

for i:=1 to 100 do s:=s+i;

writeln(s);

readln;

end.

#include <iostream>

using namespace std;

int main () {

     int tong = 0;

     for (int i = 1 ; i <= 100; i++) tong = tong + i;

     cout << " Tong S = " << tong;

     return 0;

}

Tong S = 5050

Xét khai triển:

\(\left(x+1\right)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+...+C_n^nx^n\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)^n=C_n^0.x+C_n^1x^2+C_n^2x^3+...+C_n^nx^{n+1}\)

Thay \(n=2000\) ta được:

\(x\left(x+1\right)^{2000}=C_{2000}^0x+C_{2000}^1x^2+C_{2000}^2x^3+...+C_{2000}^{2000}x^{2001}\)

Đạo hàm 2 vế:

\(\left(x+1\right)^{2000}+2000x\left(x+1\right)^{1999}=C_{2000}^0+2C_{2000}^1x+...+2001C_{2000}^{2000}x^{2000}\)

Thay \(x=1\) ta được:

\(2^{2000}+2000.2^{1999}=C_{2000}^0+2C_{2000}^1+...+2001.C_{2000}^{2000}\)

\(\Rightarrow S=2^{1999}\left(2+2000\right)=2002.2^{1999}\)

Đáp án đúng là: A

Các số tự nhiên lẻ lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 1 và công sai d = 2.

Do đó tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:

\({S_{100}} = \frac{{100.\left( {1 + 1 + 99.2} \right)}}{2} = 10\,000\).