\(cos^3x+sin^3x=sin2x+sinx+cosx\\ \Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)\left(1-\dfrac{sin2x}{2}\right)=sin2x+sinx+cosx\\ \Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}sin2x\left(sinx+cosx+2\right)=0\\ \)

Mà \(sinx+cosx=\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)>-2\)

\(\Rightarrow sin2x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{k\pi}{2}\left(k\in Z\right)\)

Tổng các nghiệm của phương trình trong \(\left[0;2018\pi\right]\) là:

\(S=\dfrac{\left(0+2018\pi\right)\left(\dfrac{2018\pi-0}{\dfrac{\pi}{2}}+1\right)}{2}=4073333\pi\)

Đáp án A

Đáp án B

Đặt \(f\left(x\right)=sin^3x+sinx-1\)

Hàm \(f\left(x\right)\) liên tục trên R

Ta có: \(f\left(0\right)=-1\) ; \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1\)

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)< 0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình \(f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\) (đpcm)

\(\Leftrightarrow2\left(cos^2x-sin^2x\right)+sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)=m\left(sinx+cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2cosx-2sinx\right)\left(sinx+cosx\right)+sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)=m\left(sinx+cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx+cosx=0\left(\text{vô nghiệm trên đoạn xét}\right)\\2cosx-2sinx+sinx.cosx=m\left(1\right)\end{matrix}\right.\) 

Xét (1), đặt \(t=cosx-sinx=\sqrt{2}cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\in\left[-1;1\right]\\sinx.cosx=\dfrac{1-t^2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2t+\dfrac{1-t^2}{2}=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}t^2+2t+\dfrac{1}{2}\) trên \(\left[-1;1\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=2\notin\left[-1;1\right]\) ; \(f\left(-1\right)=-2\) ; \(f\left(1\right)=2\)

\(\Rightarrow-2\le f\left(t\right)\le2\Rightarrow-2\le m\le2\)

- Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sin^2\dfrac{x}{2}=a\\\sin x+3=b\end{matrix}\right.\)

\(PTTT:a^2-ab+b-1=0\)

\(\Leftrightarrow-b\left(a-1\right)+\left(a-1\right)\left(a+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a+1-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a-b=-1\end{matrix}\right.\)

- Thay lại vào phương trình ta được :\(\left[{}\begin{matrix}\sin^2\dfrac{x}{2}=1\\\sin^2\dfrac{x}{2}-\sin x-3=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sin^2\dfrac{x}{2}=1\\\dfrac{1-\cos x}{2}-\sin x=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sin^2\dfrac{x}{2}=1\\\cos x+2\sin x=-3\end{matrix}\right.\)

Thấy : \(-\sqrt{5}\le2\sin x+\cos x\le\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow2\sin x+\cos x=-3\left(L\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sin\dfrac{x}{2}=1\\\sin\dfrac{x}{2}=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\\dfrac{x}{2}=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pi+k4\pi\\x=-\pi+k4\pi\end{matrix}\right.\)\(\left(K\in Z\right)\)

Vậy ....

Đáp án B.

PT: cos   x   = 1 2  có 2 nghiệm thuộc trên đoạn 0 ; 2 π  do đó để PT đã cho có 4 nghiệm thực thuộc đoạn 0 ; 2 π  thì

TH1: m= cosx có 1 nghiệm thuộc đoạn 0 ; 2 π

TH2: m= cosx có 2 nghiệm thuộc đoạn 0 ; 2 π trong đó có 1 nghiệm trùng

Vậy m= -1; m=0.