\(\dfrac{\sqrt{a-4}}{a}+\dfrac{\sqrt{b-4}}{b}+\dfrac{\sqrt{c-4}}{c}=\dfrac{3}{4}\) (ĐK: \(a\ge4;b\ge4;c\ge4\))

Áp dụng AM-GM có:
\(2\sqrt{4\left(a-4\right)}\le4+a-4=a\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{a-4}}{a}\le\dfrac{1}{4}\)

Tương tự cũng có: \(\dfrac{\sqrt{b-4}}{b}\le\dfrac{1}{4}\);\(\dfrac{\sqrt{c-4}}{c}\le\dfrac{1}{4}\)

Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}4=a-4\\4=b-4\\4=c-4\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=c=8\) (tm)

Vậy...

C-S với Bunhia là 1 và là 1 trg hợp của Holder dạng 2 số \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

AM-GM ng` việt gọi là cô si dạng 2 số \(a^2+b^2\ge2ab\)

Mincopski dạng 2 số \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2}\)

* BĐT Cauchy - Schwars = BĐT Bunhiacopxki

- Thông thường :

( a² + b² )(c² + d² ) \(\ge\left(ac+bd\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra tại : \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)

- Tổng quát với các bộ số : a₁ , a₂ , a₃ , ... , a_n và : b₁ , b₂ , ... , b_n

(a₁² + a₂² + ... + a_n²)(b₁² + b₂² + ... + b_n² ) \(\ge\left(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n\right)\)

Dấu "=" xảy ra tại : \(\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=...=\dfrac{a_n}{b_n}\)

* BĐT AM-GM

- trung bình nhân (2 số)

với a,b \(\ge0\) , ta luôn có : \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) . Dấu "=" xảy ra tại a=b

- Trung bình nhân ( n số )

Với x₁ , x₁ , x₃ ,..., x_n \(\ge0\)

Ta luôn có : \(\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1x_2.....x_n}\)

Dấu "=" xảy ra khi x₁ = x₂ =...=x_n

-Trung bình hệ số :

Với các bộ số : x₁ , x₁ , x₃ ,..., x_n \(\ge0\)và a₁, a₂ , a₃ ,... , a_n ( a₁ , a₂ ,..., a_n) là c₁ác hệ số

Ta có : \(\dfrac{a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n}{a}\ge\sqrt[a]{x_1^{a_1}.x_2^{a_2}.....x_n^{a_n}}\)

Dấu "=" xảy ra khi x₁ = x₂ = x_n

=================

Cái mincopxki t ko biết , ngoài ra còng có BĐT Cauchy - dạng engel => lên googl seach có

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(< =>\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right).\left(a+b\right)\ge4\)

\(< =>1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+1\ge4\)

\(< =>2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge4\)(luôn đúng với mọi a,b là số thực dương)

Thật vậy có \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)(BĐT Cosi)

\(=>2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2+2=4\left(đpcm\right)\)

dấu"=" xảy ra<=>a=b

\(y=-5\cdot\dfrac{1-cos2x}{2}+12sin2x+7\)

\(=-\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}\cdot cos2x+12\cdot sin2x+7\)

\(=12\cdot sin2x+\dfrac{5}{2}\cdot cos2x+\dfrac{9}{2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{601}}{2}\cdot\left(\dfrac{12\cdot sin2x}{\dfrac{\sqrt{601}}{2}}+cos2x\cdot\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{601}}\right)+\dfrac{9}{2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{601}}{2}\cdot\left(sin2x\cdot cosa+cos2x\cdot sina\right)+\dfrac{9}{2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{601}}{2}\cdot sin\left(2x+a\right)+\dfrac{9}{2}\)

\(-1< =sin\left(2x+a\right)< =1\)

=>\(\dfrac{-\sqrt{601}}{2}< =\dfrac{\sqrt{601}}{2}\cdot sin\left(2x+a\right)< =\dfrac{\sqrt{601}}{2}\)

=>\(\dfrac{-\sqrt{601}+9}{2}< =y< =\dfrac{\sqrt{601}+9}{2}\)

\(y_{min}\) khi sin(2x+a)=-1

=>\(2x+a=-\dfrac{pi}{2}+k2pi\)

=>\(2x=-\dfrac{pi}{2}-a+k2pi\)

=>\(x=-\dfrac{pi}{4}-\dfrac{a}{2}+kpi\)

\(y_{max}\) khi sin(2x+a)=1

=>\(2x+a=\dfrac{pi}{2}+k2pi\)

=>\(x=\dfrac{pi}{4}-\dfrac{a}{2}+kpi\)

tra google

1/ Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2013}=a\\\sqrt{x-2014}=b\end{cases}}\)

Thì ta có:

\(\frac{\sqrt{x-2013}}{x+2}+\frac{\sqrt{x-2014}}{x}=\frac{a}{a^2+2015}+\frac{b}{b^2+2014}\)

\(\le\frac{a}{2a\sqrt{2015}}+\frac{b}{2b\sqrt{2014}}=\frac{1}{2\sqrt{2015}}+\frac{1}{2\sqrt{2014}}\)

2/ \(\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)

\(=\frac{3}{4}\)