a: =>(x-1)(x-2)<=0

=>1<=x<=2

b: =>(x^2-1)(x^2-2)<=0

=>1<=x^2<=2

=>\(\left[{}\begin{matrix}1< =x< =\sqrt{2}\\-1>=x>=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

a) \(\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(3x-6\right)>0\)

Lập bảng xét dấu ta được kết quả :

\(Bpt\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1< x< 1\\x>2\end{matrix}\right.\)

b) \(\dfrac{x+3}{x-2}\le0\)

Lập bảng xét dấu ta được kết quả :

\(Bpt\Leftrightarrow-3\le x< 2\)

d) \(\dfrac{2x-5}{3x+2}< \dfrac{3x+2}{2x-5}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x-5}{3x+2}-\dfrac{3x+2}{2x-5}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2x-5\right)^2-\left(3x+2\right)^2}{\left(3x+2\right)\left(2x-5\right)}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2x-5+3x+2\right)\left(2x-5-3x-2\right)}{\left(3x+2\right)\left(2x-5\right)}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-\left(5x-3\right)\left(x+7\right)}{\left(3x+2\right)\left(2x-5\right)}< 0\)

Lập bảng xét dấu ta được kết quả :

\(Bpt\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-7< x< -\dfrac{2}{3}\\\dfrac{5}{3}< x< \dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Tập nghiệm của BPT là: \(\left[{}\begin{matrix}-3< x\le-1\\0\le x< 1\\x>1\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{x-2}{x+1}-\dfrac{3}{x+2}>0.\left(x\ne-1;-2\right).\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2-4-3x-3}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}>0.\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2-3x-7}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}>0.\)    

Đặt \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2-3x-7}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}>0.\)

Ta có: \(x^2-3x-7=0.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+\sqrt{37}}{2}.\\x=\dfrac{3-\sqrt{37}}{2}.\end{matrix}\right.\)

          \(x+1=0.\Leftrightarrow x=-1.\\ x+2=0.\Leftrightarrow x=-2.\)

Bảng xét dấu:

\(\Rightarrow f\left(x\right)>0\Leftrightarrow x\in\left(-\infty-2\right)\cup\left(\dfrac{3-\sqrt{37}}{2};-1\right)\cup\left(\dfrac{3+\sqrt{37}}{2};+\infty\right).\)

\(\sqrt{x^2-3x+2}\ge3.\\ \Leftrightarrow x^2-3x+2\ge9.\\ \Leftrightarrow x^2-3x-7\ge0.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3-\sqrt{37}}{2}.\\x=\dfrac{3+\sqrt{37}}{2}.\end{matrix}\right.\)

Đặt \(f\left(x\right)=x^2-3x-7.\)

\(f\left(x\right)=x^2-3x-7.\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge0\Leftrightarrow x\in(-\infty;\dfrac{3-\sqrt{37}}{2}]\cup[\dfrac{3+\sqrt{37}}{2};+\infty).\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2-3x+2}\ge3\Leftrightarrow x\in(-\infty;\dfrac{3-\sqrt{37}}{2}]\cup[\dfrac{3+\sqrt{37}}{2};+\infty).\)

Ta có \(-x^2+3x\) xác định với mọi \(x>0\)

\(x-1\ne0;\forall x\le0\Rightarrow\dfrac{2x-3}{x-1}\) xác định với mọi \(x\le0\)

\(\Rightarrow\) Hàm xác định với mọi x thuộc R hay \(D=R\)

`a)16x-5x^2-3 <= 0`

`<=>5x^2-16x+3 >= 0`

`<=>5x^2-15x-x+3 >= 0`

`<=>(x-3)(5x-1) >= 0`

`<=>` $\left[\begin{matrix} \begin{cases} x-3 \ge 0<=>x \ge 3\\5x-1 \ge 0<=>x \ge \dfrac{1}{5} \end{cases}\\ \begin{cases} x-3 \le 0<=>x \le 3\\5x-1 \le 0<=>x \le \dfrac{1}{5} \end{cases}\end{matrix}\right.$

`<=>` $\left[\begin{matrix} x \ge 3\\ x \le \dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.$

Vậy `S={x|x >= 3\text{ hoặc }x <= 1/5}`

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

`b)[2x+5]/[x-24] > 1`        

`<=>[2x+5]/[x-24]-1 > 0`

`<=>[2x+5-x+24]/[x-24] > 0`

`<=>[x+29]/[x-24] > 0`

`<=>` $\left[\begin{matrix} x < -29 \\ x > 24\end{matrix}\right.$

Vậy `S={x|x > 24\text{ hoặc }x < -29}`

Lời giải:

Để hàm liên tục tại $x=0$ thì:

\(\lim\limits_{x\to 0+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0-}f(x)=f(0)\)

\(\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 0+}\frac{\sqrt{x+1}-1}{2x}=\lim\limits_{x\to 0-}(2x^2+3mx+1)=1\)

\(\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 0+}\frac{1}{2(\sqrt{x+1}+1)}=0\Leftrightarrow \frac{1}{2}=0\) (vô lý)

Vậy không tồn tại $m$ thỏa mãn.