Tính góc giữa các đường thẳng sau:
a) \(d_1:3x-4y=0\) và \(d_2:\left\{{}\begin{matrix}x=1+3t\\y=-4t\end{matrix}\right.\)
b) \(d_1:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+2}{-2}\) và \(d_2:\left\{{}\begin{matrix}x=5+3t\\t=1-t\end{matrix}\right.\)
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) trong các trường hợp sau:
a) \({d_1}:x - 5y + 9 = 0\) và \({d_2}:10x + 2y + 7 = 10\)
b) \({d_1}:3x - 4y + 9 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.\)
c) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 4t\\y = 4 + 3t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 8t\\y = 1 + 6t\end{array} \right.\)
a) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {10;2} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.10 + ( - 5).2 = 0\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \)
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y + 9 = 0\\10x + 2y + 7 = 10\end{array} \right.\) ta được nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{{52}}\\y = \frac{{93}}{{52}}\end{array} \right.\)
Suy ra hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) vuông góc và cắt nhau tại \(M\left( { - \frac{3}{{52}};\frac{{93}}{{52}}} \right)\)
b) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 4} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3, - 4} \right)\)
\(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\)song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm \(A(1;1)\) thuộc \({d_2}\), thay tọa độ của A vào phương trình \({d_1}\), ta được \(3.1 - 4.1 + 9 = 8 \ne 0\), suy ra A không thuộc đường thẳng \({d_1}\)
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) song song
c) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 4} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {6; - 8} \right)\)
Ta có \({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 3.( - 8) - ( - 4).6 = 0\)suy ra hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\)song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm \(A(1;1)\) thuộc \({d_2}\), thay tọa độ của A vào phương trình \({d_1}\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 5 + 4t\\1 = 4 + 3t\end{array} \right. \Leftrightarrow t = - 1\), suy ra A thuộc đường thẳng \({d_1}\)
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau
Lập phương trình đường tròn \(\left(C\right)\) có tâm \(I\in\Delta:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=1-t\end{matrix}\right.\) và tiếp với hai đường thẳng\(:\left\{{}\begin{matrix}d_1:3x+4y-1=0\\d_2:3x-4y+2=0\end{matrix}\right.\)
Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng\(d_1:\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-6t\\y=3t\end{matrix}\right.\) và \(d_2:\left\{{}\begin{matrix}x=-2-2m^2t\\2+\left(2m^2+m-2\right)t\end{matrix}\right.\) trùng nhau?
Lời giải:
Viết lại đt $(d_1)$:
$x+2y=m+1-6t+6t$
$\Leftrightarrow x+2y=m+1$
Ta thấy $M(-2,2)\in (d_2)$. Nếu $(d_2)\equiv (d_1)$ thì:
$M(-2,2)\in (d_1)$
$\Leftrightarrow -2+2.2=m+1$
$\Leftrightarrow m=1$
Thay giá trị $m$ vừa tìm được vào 2 ptđt ban đầu thì:
$(d_1)$: $x+2y=2$
$(d_2)$: \(\left\{\begin{matrix} x=-2-2t\\ y=2+t\end{matrix}\right.\)
$\Rightarrow x+2y=-2-2t+2(2+t)=2$ (trùng với $(d_1)$)
Vậy $m=1$
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) trong các trường hợp sau:
a) \({d_1}:x - 2y + 3 = 0\) và \({d_2}:3x - y - 11 = 0\)
b) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3 + 5t\end{array} \right.\) và \({d_2}:x + 5y - 5 = 0\)
c) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 7 + 4t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 9 + 2t\end{array} \right.\)
a) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 1} \right)\)
Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.3 + \left( { - 2} \right).( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 45^\circ \)
b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {5; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;5} \right)\)
Ta có \({a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 5.1 + ( - 1).5 = 0\)
Suy ra \(\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 90^\circ \)
c) Ta có vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; 4} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2} \right)\)
\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {2.1+4.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{ { 4} }^2}} \sqrt {{1^2} + {{{ 2}}^2}} }} = 1 \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 0^\circ \)
Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \({d_1}:x - y + 2 = 0\) và \({d_2}:x + y + 4 = 0\)
b) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:x - 3y + 2 = 0\)
c) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t'\\y = 3 + t'\end{array} \right.\)
a) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2 = 0\\x + y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 1\end{array} \right.\)
\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.1 + ( - 1).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 0 \Rightarrow {d_1} \bot {d_2}\)
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau tại điểm có tọa độ \(( - 3; - 1)\)
b) Đường thẳng \({d_1}\) có phương trình tổng quát là: \({d_1}:2x - y + 1 = 0\)
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\x - 3y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{5}\\y = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)
\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 1.( - 3)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 45^\circ \)
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại điểm có tọa độ \(\left( { - \frac{1}{5};\frac{3}{5}} \right)\) và góc giữa chúng là \(45^\circ \)
c) Đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt có phương trình tổng quát là:
\({d_1}:3x + y - 11 = 0,{d_2}:x - 3y + 8 = 0\)
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + y - 11 = 0\\x - 3y + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = \frac{7}{2}\end{array} \right.\)
\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 1.( - 3)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 0 \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 90^\circ \)
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc tại điểm có tọa độ \(\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\)
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) sau đây :
a) \(d_1:4x-10y+1=0\) và \(d_2:x+y+2=0\)
b) \(d_1:12x-6y+10=0\) và \(d_2:\left\{{}\begin{matrix}x=5+t\\y=3+2t\end{matrix}\right.\)
c) \(d_1:8x+10y-12=0\) và \(d_2:\left\{{}\begin{matrix}x=-6+5t\\y=6-t\end{matrix}\right.\)
a) Xét hệ \(\left\{{}\begin{matrix}4x-10y+1=0\\x+y+2=0\end{matrix}\right.\)
D = 4.1 = 10.1 = -6 ≠ 0
Vậy d1 và d2 cắt nhau
b) Tương tự, ta có: d1 :\(12x-6y+10=0\) ;
d2= \(2x-y-7=0\)
D = 12 . (-1) - (-6).2 = -12 + 12 = 0
Dx = (-6) . (-7) - (-1). 10 = 42 + 10 = 52 ≠ 0
Vậy d1 // d2
c) Tương tự, ta có d1: \(8x+10y-12=0\)
d2:\(4x+5y-6=0\)
D = 8 . 5 - 4 . 10 = 0
Dx = 10. (-6) - (-12) . 5 = 0
Dy = (-12) . 4 - (-6) . 8 = 0
Vậy d1 trùng d2.
a) Xác định tất cả các giá trị của a để góc tạo bởi đường thẳng \(\left\{{}\begin{matrix}x=9+at\\y=7-2t\end{matrix}\right.\) và đường thẳng 3x+4y-2=0 bằng 45 độ
b) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua giao điểm của hai đường thẳng \(d_1:2x+y-3=0\) và \(d_2:x-2y+1=0\) đồng thời tạo với đường thẳng \(d_3:y-1=0\) một góc 45 độ có pt là
c) Trong mp tọa độ xOy có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm A(2;0) và tọa với trục hoành góc 45 độ
1) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2\cdot\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{y}{y-1}=4\\\dfrac{x}{x+2}-3\cdot\dfrac{y}{y-1}=-3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\cdot\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{y}{y-1}=4\\2\cdot\dfrac{x}{x+2}-6\cdot\dfrac{y}{y-1}=-6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-7\cdot\dfrac{y}{y-1}=10\\2\cdot\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{y}{y-1}=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y}{y-1}=\dfrac{-10}{7}\\2\cdot\dfrac{x}{x+2}+\dfrac{10}{7}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\cdot\dfrac{x}{x+2}=\dfrac{18}{7}\\\dfrac{y}{y-1}=\dfrac{-10}{7}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{x+2}=\dfrac{9}{7}\\\dfrac{y}{y-1}=\dfrac{-10}{7}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9\left(x+2\right)=7x\\-10\left(y-1\right)=7y\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9x+18-7x=0\\-10y+10-7y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+18=0\\-17y+10=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=-18\\-17y=-10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-9\\y=\dfrac{10}{17}\end{matrix}\right.\)
Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left(x,y\right)=\left(-9;\dfrac{10}{17}\right)\)
Cho hai đường thẳng :
\(d_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-3}=\dfrac{z-5}{4}\)
\(d_2:\left\{{}\begin{matrix}x=5+3t\\y=2+2t\\z=1-2t\end{matrix}\right.\)
a) Chứng minh rằng \(d_1\) và \(d_2\) cùng nằm trong một mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) ?
b) Viết phương trình của \(\left(\alpha\right)\) ?