bạn viết thế mình ko hiểu

Có thể mình hơi phũ tí nhưng mình bảo đảm một thế kỉ sau sẽ không ai ngồi giải hết đống bài này cho bạn đâu, hỏi từng câu thôi

P/s: chắc bạn đánh mỏi tay lắm

Ta có: D<1/1.2.3+1/2.3.4+1/3.4.5+...+1/(n-1).n.(n+1)

D<1/2.(2/1.2.3+2/2.3.4+2/3.4.5+...+2/(n-1).n.(n+1))

D<1/2.(1/1.2-1/2.3+1/2.3-1/3.4+1/3.4-1/4.5+...+1/(n-1).n-1/n.(n+1))

D<1/2.((1/2-1/n.(n+1))

D<1/4-1/2.n.(n+1)<1/4

D<1/4

\(a=\lim\sqrt{n^3}\sqrt{\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{2}{n^2}-1}=\infty.\left(-1\right)=-\infty\)

\(b=\lim\left(\sqrt{n^2+2n+3}-n+n-\sqrt[3]{n^2+n^3}\right)\)

\(=\lim\dfrac{2n+3}{\sqrt{n^2+2n+3}+n}+\lim\dfrac{-n^2}{n^2+n\sqrt[3]{n^2+n^3}+\sqrt[3]{\left(n^2+n^3\right)^2}}\)

\(=\lim\dfrac{2+\dfrac{3}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{3}{n^2}}+1}+\lim\dfrac{-1}{1+\sqrt[3]{\dfrac{1}{n}+1}+\sqrt[3]{\left(\dfrac{1}{n}+1\right)^2}}=\dfrac{2}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\)

\(c=\lim\dfrac{\left(\dfrac{2}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{n}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{3}{n}\right)}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}=\dfrac{0.0}{1.1}=0\)

\(d=\lim\dfrac{4-3\left(\dfrac{2}{4}\right)^n}{9.\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+\left(\dfrac{2}{4}\right)^n}=\dfrac{4}{0}=+\infty\)

\(e=\lim\dfrac{7-25\left(\dfrac{5}{7}\right)^n+3.\left(\dfrac{1}{7}\right)^n}{12.\left(\dfrac{6}{7}\right)^n-\left(\dfrac{3}{7}\right)^n+3\left(\dfrac{1}{7}\right)^n}=\dfrac{7}{0}=+\infty\)

\(f=\lim\dfrac{n^4-4n^6}{n\left(\sqrt{n^4+1}+\sqrt{4n^6+1}\right)}=\lim\dfrac{\dfrac{1}{n^2}-6}{\sqrt{\dfrac{1}{n^6}+\dfrac{1}{n^{10}}}+\sqrt{\dfrac{4}{n^4}+\dfrac{1}{n^{10}}}}=\dfrac{-6}{0}=-\infty\)

a/(Sửa đề bài) A= 1/2 + 2/2² + 3/2³ + 4/2⁴ +..+ 100/2¹⁰⁰                                                                                                                                                  => 1/2A = 1/2² + 2/2³ + 3/2⁴ +..+ 100/2¹⁰¹                                                                                                                                                   => A - 1/2A = 1/2 + 2/2² +..+ 100/2¹⁰⁰ - 1/2² - 2/2³ -..- 100/2¹⁰¹                                                                                                                 => 1/2A = 1/2 + 1/2² + 1/2³ +..+ 1/2¹⁰⁰ - 100/2¹⁰¹                                                                                                                                       Gọi riêng cụm (1/2 + 1/2² +..+ 1/2¹⁰⁰) là B                                                                                                                                                   => 2B = 1 + 1/2 + 1/2² +..+ 1/2⁹⁹                                                                                                                                                                   => 2B-B = B = 1+ 1/2 +1/2² +..+ 1/2⁹⁹ - 1/2 - 1/2² -..- 1/2¹⁰⁰ = 1 - 1/2¹⁰⁰                                                                                            => 1/2A = 1 - 1/2¹⁰⁰ - 100/2¹⁰¹                                                                                                                                                                 Có 1/2A < 1 => A < 2 =>ĐPCM                                                                                                                          b/ => 1/3C = 1/3² + 2/3³ + 3/3⁴ +..+ 100/3¹⁰¹                                                                                                                                                => C - 1/3C = 2/3C = 1/3 + 2/3² +..+ 100/3¹⁰⁰ - 1/3² - 2/3³ -..- 100/3¹⁰¹ = 1/3 + 1/3² + 1/3³ +..+ 1/3¹⁰⁰ - 100/3¹⁰¹                              Gọi riêng cụm (1/3 + 1/3² +..+ 1/3¹⁰⁰) là D                                                                                                                                               => 3D = 1 + 1/3 +..+ 1/3⁹⁹                                                                                                                                                                         => 3D - D = 2D = 1 + 1/3 +..+1/3⁹⁹ - 1/3 -1/3² -..- 1/3¹⁰⁰ = 1 - 1/3¹⁰⁰                                                                                                       => 2/3C *2 = 4/3C = 1 - 1/3¹⁰⁰ - 200/3¹⁰¹                                                                                                                                                 Có 4/3C < 1 => C<3/4 => ĐPCM              Tạm thời thế đã, giải tiếp đc con nào mình sẽ gửi sau :)          

Đề bài yêu cầu gì?

\(1^2+2^2+3^2...+n^2=1+2\left(1+1\right)+3\left(2+1\right)+...+n\left(n-1+1\right)\\ =1+1\cdot2+2+3\cdot2+3+...+n\left(n-1\right)+n\\ =\left(1+2+3+...+n\right)+\left[1\cdot2+2\cdot3+...+n\left(n-1\right)\right]\)

Ta có \(1\cdot2+2\cdot3+...+n\left(n-1\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\left[1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot3+...+3n\left(n-1\right)\right]\\ =\dfrac{1}{3}\left[1\cdot2\left(3-0\right)+2\cdot3\left(4-1\right)+...+n\left(n-1\right)\left(n+2+n+1\right)\right]\\ =\dfrac{1}{3}\left(1\cdot2\cdot3-1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4-...-\left(n-2\right)\left(n-1\right)n+\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\right)\\ =\dfrac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{3}\)

\(\Rightarrow1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{3}\\ =\dfrac{3n\left(n+1\right)+2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)}{6}=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(3+2n-2\right)}{6}\\ =\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

a/ \(=\lim\limits\dfrac{\sqrt{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{\dfrac{n}{n}}}=1\)

b/ \(1+2+...+n=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)

\(\Rightarrow\lim\limits\dfrac{n\left(n+1\right)}{2n^2+4}=\lim\limits\dfrac{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{n}{n^2}}{\dfrac{2n^2}{n^2}+\dfrac{4}{n^2}}=\dfrac{1}{2}\)

c/ \(=\lim\limits\dfrac{n^2+n+1-n^2}{\sqrt{n^2+n+1}+n}=\lim\limits\dfrac{n+1}{\sqrt{n^2+n+1}+n}=\lim\limits\dfrac{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{n}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}}+\dfrac{n}{n}}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\)

d/ \(=\lim\limits\left[\sqrt{n}\left(\sqrt{3-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}-\sqrt{2-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}\right)\right]=\lim\limits\left[\sqrt{n}\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\right]=+\infty\)

e/ \(=\lim\limits\dfrac{n^3+2n^2-n-n^3}{\left(\sqrt[3]{n^3+2n^2}\right)^2+n.\sqrt[3]{n^3+2n^2}+n^2}=\lim\limits\dfrac{2n^2-n}{\left(n^3+2n^2\right)^{\dfrac{2}{3}}+n.\left(n^3+2n^2\right)^{\dfrac{1}{3}}+n^2}\)

\(=\dfrac{2}{1+1+1}=\dfrac{2}{3}\)

g/ \(=\lim\limits\dfrac{2^n+9.3^n}{4.3^n+8.2^n}=\lim\limits\dfrac{\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+9.\left(\dfrac{3}{3}\right)^n}{4.\left(\dfrac{3}{3}\right)^n+8.\left(\dfrac{2}{3}\right)^n}=\dfrac{9}{4}\)

1/...

2/ \(=\lim\dfrac{\dfrac{1}{n\sqrt{n}}-1}{4+\dfrac{1}{n^2\sqrt{n}}}=\dfrac{0-1}{4+0}=-\dfrac{1}{4}\) (chia cả tử-mẫu cho \(n^3\))

3/ \(=\lim\dfrac{3-\left(\dfrac{1}{4}\right)^n}{2.\left(\dfrac{3}{4}\right)^n+4\left(\dfrac{1}{4}\right)^n}=\dfrac{3-0}{2.0+3.0}=\dfrac{3}{0}=+\infty\) (chia tử mẫu cho \(4^n\))

4/ \(=\lim\dfrac{2.2^n+\dfrac{4}{3}.3^n}{1-\dfrac{1}{2}.2^n+3.3^n}=\lim\dfrac{2.\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+\dfrac{4}{3}}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+3}=\dfrac{2.0+\dfrac{4}{3}}{0-\dfrac{1}{2}.0+3}=\dfrac{4}{9}\) (chia tử mẫu  cho \(3^n\))