Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

ta tính \(y'=4x^3-2\left(3m-1\right)x=2x\left(2x^2-3x+1\right)\)

để hàm số có 3 cực trị thì pt y'=0 có 3 nghiệm phân biệt

ta có 

\(y'=0\Leftrightarrow2x\left(2x^2-3m+1\right)=0\Rightarrow x=0;2x^2=3m-1\)

để pt có 3 nghiệm phân biệt thì 3m-1>0  suy ra m>1/3

x=0 ta có y=2m+1 suy ra \(A\left(0;2m+1\right)\) ;\(B\left(\sqrt{\frac{3m-1}{2}};-\frac{\left(3m-1\right)^2}{4}+2m+1\right)\); \(C\left(-\sqrt{\frac{3m-1}{2}};\frac{-\left(3m-1\right)^2}{4}+2m+1\right)\)

ta có \(\vec{AB}\left(\sqrt{\frac{3m-1}{2}};\frac{-\left(3m-1\right)^2}{4}\right)\); \(\vec{AC}=\left(-\sqrt{\frac{3m-1}{2}};-\frac{\left(3m-1\right)^2}{4}\right)\)

suy ra AC=AB suy ra tam giác ABC cân tại A

Gỉa sử A,B,C,D  nội tiếp đường tròn suy ra tâm của đường tròn nằm trên trung tuyến BC

do tam giác ABC cân tại A suy ra trung tuyến BC cũng chính là đường cao của BC

ta có

\(\vec{BC}=\left(2\sqrt{\frac{3m-1}{2}};0\right)\)

phương trình đường cao qua A và vuông góc với BC nhận \(\vec{BC}\)làm vecto pháp tuyến có dạng

\(2\sqrt{\frac{3m-1}{2}}\left(x-0\right)+0\left(y-2m-1\right)=0\Rightarrow x=0\)(d)

Gọi I(0;a)  thuộc (d) là tâm đường tròn mà A,B,C,D nội tiếp 

suy ra ta có hệ pt

\(\begin{cases}IA=IB\\IB=IC\\IC=ID\end{cases}\)

hoành độ giao điểm là nghiệm của pt

\(\left(x+1\right)\left(1-2x\right)=x+2m\Leftrightarrow-2x^2-x+1=x+2m\Leftrightarrow2x^2+2x+2m-1=0\)(*)

để đồ thị hàm số cắt đt d tại 2 điểm pb A,B thì pt(*) có 2 nghiệm phân biệt

\(\Delta=1-2\left(2m-1\right)=3-4m>0\Leftrightarrow m

\(A\left(\frac{-1+\sqrt{3-4m}}{2};\frac{-1+\sqrt{3-4m}}{2}+2m\right)\)

hoành độ giao điểm là nghiệm của pt

\(\frac{-x+m}{x+2}=\frac{1-2x}{2}\) với x khác -2

\(\frac{-x+m}{x+2}=\frac{1-2x}{2}\Leftrightarrow\frac{-2x+2m}{2\left(x+2\right)}=\frac{\left(1-2x\right)\left(x+2\right)}{2\left(x+2\right)}\Leftrightarrow-2x+2m=\left(1-2x\right)\left(x+2\right)\Leftrightarrow-2x+2m=x-2x^2+2-4x\Leftrightarrow2x^2+x+2m-2=0\)

để đt d cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm pt thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt khác -2

làm tương tự như câu dưới......

1h30'=1,5h

Trong 1,5h ngừ đi xe đạp đi đc là

s₁= v.t = 12.1,5=18(km)

Vậy khoảng cách của 2 người lúc xe máy bắt đầu khởi hành là 18km

Thời gian người đi xe máy đủi kịp người xe đạp là:

t=\(\frac{s_1}{v_1-v_2}=\frac{18}{36-12}=0,75\left(h\right)\)

Vậy nơi gặp nhau cách huyện 

30-(0,75x36)=3(km)

Đổi 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ

Xe đạp khởi hành trước xe máy số ki-lô-mét là :

12 * 1,5 = 18 ( km )

Hiệu vận tốc hai xe là :

36 - 12 = 24 ( km )

Xe máy đuổi kịp xe đạp sau số giờ là :

18 : 24 = 0,75 ( giờ )

Sau 0,75 giờ , xe máy đi được số ki-lô-mét là :

36 * 0,75 = 27 ( km )

Hai người còn cách huyện số ki-lô-mét là :

30 - 27 = 3 ( km )

Đáp số : 3 km .

Để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu lập thành tam giác đều thì 24a+b³=0 \(\Leftrightarrow\) 24.1+(-2m)³=0 \(\Rightarrow\) m=\(\sqrt[3]{3}\).

\(\frac{2x-1}{-x-1}=-2x+m\Leftrightarrow\begin{cases}2x^2-\left(m+4\right)x+1=0\left(1\right)\\x\ne1\end{cases}\)

Đường thẳng y=-2x+m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow\) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(m+4\right)^2-8\left(m+1\right)>0\\-1\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m^2+8>0\) với mọi m

Vậy với mọi m, đường thẳng y=x+m luôn cắt đồ thị C tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \(x_1,x_2\) và \(x_1\ne x_2\)

Theo Viet : \(x_1+x_2=\frac{4+m}{2},x_1.x_2=\frac{m+1}{2}\)

\(x_1x_2-4\left(x_1+x_2\right)=\frac{7}{2}\Leftrightarrow\frac{m+1}{2}-4\left(\frac{m+4}{2}\right)=\frac{7}{2}\Leftrightarrow m=-\frac{22}{3}\)

Vậy \(m=-\frac{22}{3}\) thì đường thẳng \(y=-2x+m\) cắt đồ thì (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \(x_1,x_2\) và \(x_1x_2-4\left(x_1+x_2\right)=\frac{7}{2}\)