\(T=x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}\)

\(=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(\frac{x}{4}+\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{x+y}{9}+\frac{1}{x+y}\right)+\frac{17}{9}\left(x+y\right)+\frac{7x}{9}-5\)

\(\ge0+0+2\sqrt{\frac{x}{4}\cdot\frac{1}{x}}+2\sqrt{\frac{x+y}{9}\cdot\frac{1}{x+y}}+\frac{17\cdot3}{9}+\frac{7\cdot2}{9}-5\)

\(=\frac{35}{9}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=2;y=1

Đặt x = 2t 

đưa bài toán về dạng: 

\(T=4t^2+y^2+\frac{1}{2t}+\frac{1}{2t+y}\ge\left(t^2+t^2+y^2\right)+\frac{1}{2t+y}+\left(2t^2+\frac{1}{2t}\right)\)

\(\ge\frac{\left(2t+y\right)^2}{3}+\frac{1}{2t+y}+\left(2t^2+\frac{1}{2t}\right)\)

\(=\left(\frac{\left(2t+y\right)^2}{3}+\frac{9}{2t+y}+\frac{9}{2t+y}\right)+\left(2t^2+\frac{4}{2t}+\frac{4}{2t}\right)-\frac{17}{2t+y}-\frac{7}{2t}\)

\(\ge3.3+3.2-\frac{17}{3}-\frac{7}{2}=\frac{35}{6}\)

Dấu "=" xảy ra <=> y = t = 1 <=> y = 1 ; x = 2

Dòng 2 là \(\frac{7x}{4}\)

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$(x^2+y^2)(2^2+1)\geq (2x+y)^2\Rightarrow x^2+y^2\geq \frac{(2x+y)^2}{5}$

$\Rightarrow T\geq \frac{(2x+y)^2}{5}+\frac{2x+y}{x(x+y)}$

$=(2x+y)\left(\frac{2x+y}{5}+\frac{1}{x(x+y)}\right)$

Vì $x\geq 2; x+y\geq 3\Rightarrow 2x+y\geq 5(1)$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{2x+y}{5}+\frac{1}{x(x+y)}=\frac{x}{12}+\frac{x+y}{18}+\frac{1}{x(x+y)}+\frac{7}{60}x+\frac{13}{90}(x+y)$

$\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{12}.\frac{x+y}{18}.\frac{1}{x(x+y)}}+\frac{7}{60}.2+\frac{13}{90}.3=\frac{7}{6}(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow P\geq 5.\frac{7}{6}=\frac{35}{6}$

\(A=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{z-3}}{z}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(A\le\frac{1+x-1}{x}+\frac{2+y-2}{2y}+\frac{3+z-3}{3z}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}=1\\\sqrt{y-2}=2\\\sqrt{z-3}=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=1\\y-2=2\\z-3=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\\z=6\end{cases}}\)

Vậy \(A_{max}=\frac{11}{6}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\\z=6\end{cases}}\)

Xin lỗi bạn. Bài đó mk lm sai rồi.

Sửa:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(A=\frac{1.\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{2}.\sqrt{y-2}}{\sqrt{2}.y}+\frac{\sqrt{3}.\sqrt{z-3}}{\sqrt{3}.z}\le\frac{\frac{1+x-1}{2}}{x}+\frac{\frac{2+y-2}{2}}{\sqrt{2}.y}+\frac{\frac{3+z-3}{2}}{\sqrt{3}.z}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2.\sqrt{2}}+\frac{1}{2.\sqrt{3}}\)\(=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2.\sqrt{6}}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}=1\\\sqrt{y-2}=\sqrt{2}\\\sqrt{z-3}=\sqrt{3}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=1\\y-2=2\\z-3=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\\z=6\end{cases}}\)

Vậy \(A_{max}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2.\sqrt{6}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\\z=6\end{cases}}\)

Ta có:

\(P=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\frac{\left(x-2\right)\left(4x-1\right)}{2x}+\frac{\left(x+y-3\right)\left(6x+6y-1\right)}{3\left(x+y\right)}+\frac{35}{6}\ge\frac{35}{6}\) (Sử dụng giả thiết)

Đẳng thức xảy ra khi x = 2; y = 1

Trần Thanh Phương, Nguyễn Văn Đạt, ?Amanda?, svtkvtm,

Lightning Farron, Lê Thảo, Nguyễn Thị Diễm Quỳnh,

@Akai Haruma, @Nguyễn Việt Lâm

a) Áp dụng đbt Cauchy cho 2 số không âm ta có :

\(x+\frac{4}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=2\cdot\sqrt{4}=2\cdot2=4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{4}{x}\\x=2\end{cases}\Leftrightarrow x=2}\)

còn câu b bạn

t thử giải tiếp câu b nhá!Có gì sai thì thôi....mới lớp ah!

\(x+\frac{4}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{4}{x}}=2.2=4\)

\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}\ge4-\frac{3}{x}\)

Tương tự và cộng theo vế ta có: \(M\ge12-\left(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z}\right)\ge12-\left(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\right)=\frac{15}{2}\)

(Giải thích thêm:Do \(x;y;z\ge2\Rightarrow\frac{3}{x};\frac{3}{y};\frac{3}{z}\le\frac{3}{2}\Rightarrow...\))

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 2

Ta có:

A=\(\frac{x\sqrt{y-2}+y\sqrt{x-3}}{xy}\)

\(=\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{x-3}}{x}\)

Do \(x\ge3;y\ge2\)nen 

\(\frac{\sqrt{y-2}}{y}\ge0;\frac{\sqrt{x-3}}{x}\ge0\)

\(\Rightarrow A\ge0\)

Dau "=" xảy ra khi y=2 ; x=3

Vay minA =0 khi x=3; y=2