Cho \(a_1,a_2,..,a_n\) là các số nguyên dương và n>1.

Đặt \(A=a_1a_2...a_n,\)  \(A_i=\dfrac{A}{a_i}\left(i=\overline{1,n}\right)\). CM các đẳng thức sau:

a) \(\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\left[A_1,A_2,...,A_n\right]=A\)

b) \(\left[a_1,a_2,..,a_n\right]\left(A_1,A_2,...,A_n\right)=A\)

Cho a,b,c là các số nguyên dương. CM:

a) \(\left(a,b,c\right)=\dfrac{\left(a,b,c\right)abc}{\left(a,b\right)\left(b,c\right)\left(c,a\right)}\)

b) \(\left[a,b,c\right]=\dfrac{\left(a,b,c\right)\left[a,b\right]\left[b,c\right]\left[c,a\right]}{abc}\)

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=2\). Tìm GTLN của biểu thức \(P=x+y+z-xyz\)

Chứng minh BĐT với a,b,c>0: \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\frac{3}{2}\left(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\right)\)

Tìm GTLN: Với 0<x,y<1

\(x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\)