Trong mp Oxy cho đường thẳng (P): x-2y+3=0, A(1,3), B(-1,-1). Tìm điểm M thuộc d thõa P= MA+MB là nhỏ nhất
trong hệ trục tọa độ Oxy, cho 2 điểm A(0, 1) và B(3, 4). Điểm M (a, b) thuộc đường thẳng (d) x-2y-2=0 thỏa mãn \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, Khi đó a+b bằng
M thuộc d nên: \(a-2b-2=0\Rightarrow2b=a-2\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(-a;1-b\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(3-a;4-b\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\left(3-2a;5-2b\right)=\left(3-2a;9-2a\right)\)
Đặt \(T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\sqrt{\left(3-2a\right)^2+\left(9-2a\right)^2}=\sqrt{8a^2-48a+90}=\sqrt{8\left(a-3\right)^2+18}\ge\sqrt{18}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a-3=0\Leftrightarrow a=3\Rightarrow b=\dfrac{1}{2}\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x - 2y + 2 = 0 và A(0;6), B(2;5). Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB nhỏ nhất
Cách 1:
Do M thuộc d, gọi tọa độ M có dạng \(M\left(2m-2;m\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(2m-2;m-6\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(2m-4;m-5\right)\end{matrix}\right.\)
Đặt \(T=MA+MB=\sqrt{\left(2m-2\right)^2+\left(m-6\right)^2}+\sqrt{\left(2m-4\right)^2+\left(m-5\right)^2}\)
\(T=\sqrt{5m^2-20m+40}+\sqrt{5m^2-26m+41}\)
\(T=\sqrt{5\left(m-2\right)^2+\left(2\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{5\left(\dfrac{13}{5}-m\right)^2+\left(\dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)^2}\)
\(T\ge\sqrt{5\left(m-2+\dfrac{13}{5}-m\right)^2+\left(2\sqrt{5}+\dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)^2}=\sqrt{53}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(6\left(m-2\right)=10\left(\dfrac{13}{5}-m\right)\Leftrightarrow m=\dfrac{19}{8}\)
\(\Rightarrow M\left(\dfrac{11}{4};\dfrac{19}{8}\right)\)
Cách 2:
Thay tọa độ A và B vào pt (d) được 2 giá trị cùng dấu âm \(\Rightarrow A;B\) nằm cùng phía so với (d)
Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc với d \(\Rightarrow\) pt d' có dạng:
\(2\left(x-0\right)+1\left(y-6\right)=0\Leftrightarrow2x+y-6=0\)
Gọi C là giao điểm của d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2y+2=0\\2x+y-6=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow C\left(2;2\right)\)
Gọi D là điểm đối xứng với A qua d \(\Leftrightarrow C\) là trung điểm AD \(\Rightarrow D\left(4;-2\right)\)
Phương trình BD có dạng: \(7\left(x-2\right)+2\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow7x+2y-24=0\)
\(MA+MB\) nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của BD
\(\Rightarrow\) Tọa độ M thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}7x+2y-24=0\\x-2y+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{11}{4};\dfrac{19}{8}\right)\)
trên trục tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 3x-2y+5=0 và A(4;7),B(2;1)
Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho : giá trị tuyệt đối của MA-2MB nhỏ nhất
(MA và MB đều là vecto nhá)
Gọi `M(x;3/2x+5/2)`
Ta có:`|\vec{MA}-2\vec{MB}|`
`=|(4-x;7-3/2x-5/2)-2(2-x;1-3/2x-5/2)|`
`=|(x;3/2x+17/2)|`
`=\sqrt{x^2+(3/2x+17/2)^2}`
`=\sqrt{x^2+9/4x^2+51/2x+289/4}`
`=\sqrt{13/4x^2+51/2x+289/4}`
`=\sqrt{(\sqrt{13}/2 x+[51\sqrt{13}]/26)^2+289/13} >= [17\sqrt{13}]/13`
Dấu "`=`" xảy ra `<=>\sqrt{13}/2x+[51\sqrt{13}]/26=0<=>x=-51/13`
`=>M(-51/13;-44/13)`
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình
x-y+1=0
và hai điểm A(1; 5), B(1; -1).
Tìm M thuộc d sao cho MA + MB nhỏ nhất?
Bài 1 : tìm m để 3 điểm A( 2 ; -1 ) , B ( 1 ; 1 ) , C ( 3 ; m+1 ) trong mặt phẳng Oxy thẳng hàng .
Bài 2 : trong mặt phẳng Oxy cho A ( 1; 2 ) , B ( 3 ; 4 ) . tìm điểm M thuộc Ox sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất .
cho đường thẳng Δ \(x-2y+1=0\) ,hai điểm \(A\left(2;1\right)\)và \(B\left(1;0\right)\).Tìm toạ độ điểm M nằm trên Δ sao cho
a) \(MA+MB\) nhỏ nhất
b)\(\left|MA-MB\right|\) lớn nhất
Ta thấy \(\left(2-2+1\right)\left(1-0+1\right)=2>0\Rightarrow A,B\) khác phía so với \(\Delta\)
Lấy B' đối xứng với B qua \(\Delta\)
BB' có phương trình \(2x+y+m=0\)
Do B thuộc đường thẳng BB' nên \(m=-2\Rightarrow BB':2x+y-2=0\)
B' có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+1=0\\2x+y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}\\y=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\Rightarrow B'=\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5}\right)\)
a, \(MA+MB=MA+MB'\ge AB'\)
\(min=AB'\Leftrightarrow M\) là giao điểm của AB' và \(\Delta\)
\(\Leftrightarrow...\)
b, \(\left|MA-MB\right|=\left|MA-MB'\right|\le AB'\)
\(max=AB'\Leftrightarrow M\) là giao điểm của AB' và \(\Delta\)
\(\Leftrightarrow...\)
Trong mặt phẳng Oxy ,cho dường thẳng d1: x - 2y + 3=0 và hai điểm A(1;3) B(-2:4).Điểm M (x;y) ∈ d1 sao cho | \(\overrightarrow{MA}\) +\(\overrightarrow{MB}\)| đạt giá trị nhỏ nhất .
\(M\in\left(d_1\right)\Rightarrow M\left(x;\dfrac{x+3}{2}\right)\)
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MI}\right|\) \(\left(\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{BI}\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=-\dfrac{1}{2}\\y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow I\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|_{min}\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MI}\right|_{min}\Leftrightarrow\overrightarrow{MI}\perp\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{AB}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_I-x_M;y_I-y_M\right).\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_I-x_M\right)\left(x_B-x_A\right)+\left(y_I-y_M\right)\left(y_B-y_A\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(-\dfrac{1}{2}-x\right).\left(-3\right)+\dfrac{7}{2}-\dfrac{x+3}{2}=0\Rightarrow M\left(...\right)\)
Cho đường thẳng d: x-y +6=0 và hai điểm A(2;2) B(3;0). Tìm điểm M thuộc d sao cho MA + MB nhỏ nhất.
\(M\in\left(d\right)\Rightarrow M\left(a;a+6\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MA=\sqrt{\left(a-2\right)^2+\left(a+4\right)^2}=\sqrt{2\left(a+1\right)^2+18}\\MB=\sqrt{\left(a-3\right)^2+\left(a+6\right)^2}=\sqrt{2\left(a+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{81}{2}}=\sqrt{2\left(-\dfrac{3}{2}-a\right)^2+\dfrac{81}{2}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow MA+MB=\sqrt{\sqrt{2}^2\left(a+1\right)^2+18}+\sqrt{\sqrt{2}^2\left(-\dfrac{3}{2}-a\right)^2+\dfrac{81}{2}}\ge\sqrt{\left(\sqrt{2}.a+\sqrt{2}-\dfrac{3}{2}.\sqrt{2}-\sqrt{2}.a\right)^2+\left(\sqrt{18}+\sqrt{\dfrac{81}{2}}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{225}{2}}=\sqrt{133}\)
\(dấu"="xayra\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{2}\left(a+1\right)}{\sqrt{18}}=\dfrac{\sqrt{2}\left(-\dfrac{3}{2}-a\right)}{\sqrt{\dfrac{81}{2}}}\Leftrightarrow a=-\dfrac{6}{5}\Rightarrow M\left(-\dfrac{6}{5};\dfrac{24}{5}\right)\)
trong mp tọa độ Oxy, cho đg thg d: 2x-y+3=0 và 2 điểm A(1;0); B(2;1). tìm điểm M trên d sao cho MA+MB nhỏ nhất
Thay tọa độ A và B vào d thấy kết quả cùng dấu \(\Rightarrow\) A và B nằm cùng phía so với d
Gọi C là điểm đối xứng A qua d \(\Rightarrow MA=CM\Rightarrow MA+MB=CM+MB\ge CB\)
\(\Rightarrow MA+MB\) nhỏ nhất khi M;B;C thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng BC và d
Phương trình d' qua A và vuông góc d có dạng:
\(1\left(x-1\right)+2\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow x+2y-1=0\)
D là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y-1=0\\2x-y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(-1;1\right)\)
C đối xứng A qua d khi và chỉ khi D là trung điểm AC \(\Rightarrow C\left(-3;1\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CB}=\left(5;0\right)=5\left(1;0\right)\Rightarrow\) phương trình BC có dạng:
\(0\left(x-2\right)+1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow y-1=0\)
M là giao điểm d và BC nên tọa độ thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}y-1=0\\2x-y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(-\frac{3}{2};1\right)\)