Question

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x - 2y + 2 = 0 và A(0;6), B(2;5). Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB nhỏ nhất

Answer 1

Cách 1:

Do M thuộc d, gọi tọa độ M có dạng \(M\left(2m-2;m\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(2m-2;m-6\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(2m-4;m-5\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt \(T=MA+MB=\sqrt{\left(2m-2\right)^2+\left(m-6\right)^2}+\sqrt{\left(2m-4\right)^2+\left(m-5\right)^2}\)

\(T=\sqrt{5m^2-20m+40}+\sqrt{5m^2-26m+41}\)

\(T=\sqrt{5\left(m-2\right)^2+\left(2\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{5\left(\dfrac{13}{5}-m\right)^2+\left(\dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)^2}\)

\(T\ge\sqrt{5\left(m-2+\dfrac{13}{5}-m\right)^2+\left(2\sqrt{5}+\dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)^2}=\sqrt{53}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(6\left(m-2\right)=10\left(\dfrac{13}{5}-m\right)\Leftrightarrow m=\dfrac{19}{8}\)

\(\Rightarrow M\left(\dfrac{11}{4};\dfrac{19}{8}\right)\)

Answer 2

Cách 2:

Thay tọa độ A và B vào pt (d) được 2 giá trị cùng dấu âm \(\Rightarrow A;B\) nằm cùng phía so với (d)

Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc với d \(\Rightarrow\) pt d' có dạng:

\(2\left(x-0\right)+1\left(y-6\right)=0\Leftrightarrow2x+y-6=0\)

Gọi C là giao điểm của d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2y+2=0\\2x+y-6=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C\left(2;2\right)\)

Gọi D là điểm đối xứng với A qua d \(\Leftrightarrow C\) là trung điểm AD \(\Rightarrow D\left(4;-2\right)\)

Phương trình BD có dạng: \(7\left(x-2\right)+2\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow7x+2y-24=0\)

\(MA+MB\) nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của BD

\(\Rightarrow\) Tọa độ M thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}7x+2y-24=0\\x-2y+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{11}{4};\dfrac{19}{8}\right)\)