Lời giải:
Từ PT$(1)\Rightarrow x=m+1-my$. Thay vô PT(2):

$m(m+1-my)+y=3m-1$

$\Leftrightarrow y(1-m^2)+m^2+m=3m-1$

$\Leftrightarrow y(1-m^2)=-m^2+2m-1(*)$

Để hpt có nghiệm $(x,y)$ duy nhất thì pt $(*)$ cũng phải có nghiệm $y$ duy nhất 

Điều này xảy ra khi $1-m^2\neq 0\Leftrightarrow m\neq \pm 1$
Khi đó: $y=\frac{-m^2+2m-1}{1-m^2}=\frac{-(m-1)^2}{-(m-1)(m+1)}=\frac{m-1}{m+1}$

$x=m+1-my=m+1-\frac{m(m-1)}{m+1}=\frac{3m+1}{m+1}$

Có:

$x+y=\frac{m-1}{m+1}+\frac{3m+1}{m+1}=\frac{4m}{m+1}<0$

$\Leftrightarrow -1< m< 0$

Kết hợp với đk $m\neq \pm 1$ suy ra $-1< m< 0$ thì thỏa đề.

Kết hợp điều kiện đề bài và pt thứ 2 của hệ ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=-6\\2x+y=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=7\end{matrix}\right.\)

Thế vào pt đầu:

\(m.1+2.7=18\Rightarrow m=4\)

Lời giải:
$x+2y=5\Leftrightarrow x=5-2y$. Thay vô pt $(1)$

$m(5-2y)+y=4$

$\Leftrightarrow y(1-2m)=4-5m$

Để pt có nghiệm duy nhất thì $1-2m\neq 0\Leftrightarrow m\neq \frac{1}{2}$

Khi đó: $y=\frac{4-5m}{1-2m}$

$x=5-2y=5-\frac{2(4-5m)}{1-2m}=\frac{-3}{1-2m}$
$x>0\Leftrightarrow \frac{-3}{1-2m}>0\Leftrightarrow 1-2m<0\Leftrightarrow m> \frac{1}{2}(1)$
$y>0\Leftrightarrow \frac{4-5m}{1-2m}>0\Leftrightarrow 4-5m<0$ (do $1-2m< 0$

$\Leftrightarrow m> \frac{4}{5}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow m> \frac{4}{5}$

$x> y\Leftrightarrow \frac{-3}{1-2m}> \frac{4-5m}{1-2m}$

$\Leftrightarrow \frac{5m-7}{1-2m}>0$

$\Leftrightarrow 5m-7< 0$ (do $1-2m<0$)

$\Leftrightarrow m< \frac{7}{5}$

Vậy $\frac{4}{5}< m< \frac{7}{5}$

Lời giải:
$x+2y=5\Leftrightarrow x=5-2y$. Thay vô pt $(1)$

$m(5-2y)+y=4$

$\Leftrightarrow y(1-2m)=4-5m$

Để pt có nghiệm duy nhất thì $1-2m\neq 0\Leftrightarrow m\neq \frac{1}{2}$

Khi đó: $y=\frac{4-5m}{1-2m}$

$x=5-2y=5-\frac{2(4-5m)}{1-2m}=\frac{-3}{1-2m}$
$x>0\Leftrightarrow \frac{-3}{1-2m}>0\Leftrightarrow 1-2m<0\Leftrightarrow m> \frac{1}{2}(1)$
$y>0\Leftrightarrow \frac{4-5m}{1-2m}>0\Leftrightarrow 4-5m<0$ (do $1-2m< 0$

$\Leftrightarrow m> \frac{4}{5}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow m> \frac{4}{5}$

$x> y\Leftrightarrow \frac{-3}{1-2m}> \frac{4-5m}{1-2m}$

$\Leftrightarrow \frac{5m-7}{1-2m}>0$

$\Leftrightarrow 5m-7< 0$ (do $1-2m<0$)

$\Leftrightarrow m< \frac{7}{5}$

Vậy $\frac{4}{5}< m< \frac{7}{5}$

a. Với `m=1`, ta có HPT: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=18\\x-y=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=-6\\3y=24\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=8\end{matrix}\right.\)

b. Theo đề bài `=>` \(\left\{{}\begin{matrix}mx+2y=18\\x-y=-6\\2x+y=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+2y=18\\x=1\\y=7\end{matrix}\right.\)

`=> m=4`

a) Thay m=1 vào hệ phương trình, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=18\\x-y=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3y=24\\x-y=-6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=8\\x=-6+y=-6+8=2\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=3\left(1\right)\\4x+my=6\left(2\right)\end{matrix}\right.\) 

TH1: m=0 có nghiệm:\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{6}{4}\\y=3\end{matrix}\right.\) ( Thỏa mãn điều kiện đề bài ) => nhận m=0

TH2: m khác 0 \(\dfrac{m}{4}\ne\dfrac{1}{m}\Leftrightarrow m\ne\pm2\) 

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(1\right)\Rightarrow y=3-mx\\\left(2\right)\Rightarrow x=\dfrac{6-my}{4}=\dfrac{6-m\left(3-mx\right)}{4}\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left(m^2-4\right)x=3m-6\) \(\Rightarrow x=\dfrac{3}{m+2}\) đối chiếu điều kiện: (x>1)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{m+2}-1>0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1-m}{m+2}>0\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}1-m< 0\\m+2< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\m< -2\end{matrix}\right.\) ( Loại )

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}1-m>0\\m+2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\m>-2\end{matrix}\right.\) ( Nhận ) \(\Rightarrow m\in\left(-2;1\right)\) 

Đối chiếu điều kiện: y>0 \(\Leftrightarrow3-m\left(\dfrac{3}{m+2}\right)>0\) 

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{m+2}>0\) \(\Leftrightarrow m>-2\) 

Gộp cả 2 điều kiện x và y ta được m=-1 và m=0 

Nãy giờ gõ nó cứ bị lỗi :D 

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{m}{1}\)

=>\(m^2\ne1\)

=>\(m\notin\left\{1;-1\right\}\)

Khi \(m\notin\left\{1;-1\right\}\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=2m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m\left(m+1-my\right)+y=2m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m^2+m-m^2y+y-2m=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y\left(-m^2+1\right)=-m^2+m\\x=m+1-my\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m^2-m}{m^2-1}=\dfrac{m\left(m-1\right)}{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}=\dfrac{m}{m+1}\\x=m+1-\dfrac{m^2}{m+1}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m}{m+1}\\x=\dfrac{\left(m+1\right)^2-m^2}{m+1}=\dfrac{2m+1}{m+1}\end{matrix}\right.\)

Để \(\left\{{}\begin{matrix}x>=2\\y>=1\end{matrix}\right.\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1}{m+1}>=2\\\dfrac{m}{m+1}>=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1-2\left(m+1\right)}{m+1}>=0\\\dfrac{m-m-1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1-2m-2}{m+1}>=0\\\dfrac{-1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{m+1}>=0\\-\dfrac{1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m+1< 0\)

=>m<-1

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=m\\3x-2y=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+2y=2m\\3x-2y=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=2m+5\\y=m-2x\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m+5}{7}\\y=\dfrac{3m-10}{7}\end{matrix}\right.\)

Để \(x>0;y< 0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+5}{7}>0\\\dfrac{3m-10}{7}< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-\dfrac{5}{2}\\m< \dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\dfrac{5}{2}< m< \dfrac{10}{3}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=10\\2x-y=m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=10\\4x-2y=2m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=10+2m\\3x+2y=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{10+2m}{7}\\3\left(\dfrac{10+2m}{7}\right)+2y=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{10+2m}{7}\\\dfrac{30+6m}{7}+2y=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{10+2m}{7}\\y=\dfrac{40-6m}{14}\end{matrix}\right.\)

Để \(x>0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{10+2m}{7}>0\)

               \(\Leftrightarrow m>-5\) (1)

Để \(y>0\)  \(\Leftrightarrow40-6m< 0\) 

                 \(\Leftrightarrow m>\dfrac{20}{3}\) (2)

\(\left(1\right);\left(2\right)\rightarrow m>\dfrac{20}{3}\)

 Vậy \(m>\dfrac{20}{3}\) thì \(x>0;y< 0\)