a) Sử dụng phép đổi biến \(t = \frac{1}{x},\) tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}}.\)
b) Với \(y = {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}},\) tính ln y và tìm giới hạn của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y.\)
c) Đặt \(t = {e^x} - 1.\) Tính x theo t và tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x}.\)
a) Ta có \(t = \frac{1}{x},\) nên khi x tiến đến 0 thì t tiến đến dương vô cùng do đó
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{t}} \right)^t} = e\)
b) \(\ln y = \ln {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = \frac{1}{x}\ln \left( {1 + x} \right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\)
c) \(t = {e^x} - 1 \Leftrightarrow {e^x} = t + 1 \Leftrightarrow x = \ln \left( {t + 1} \right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{t}{{\ln \left( {t + 1} \right)}} = 1\)
Tìm giới hạn hàm số Lim x->4 1-x/(x-4)^2 Lim x->3+ 2x-1/x-3 Lim x->2+ -2x+1/x+2 Lim x->1- 3x-1/x+1
1: \(\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{1-x}{\left(x-4\right)^2}=-\infty\)
vì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow4}1-x=1-4=-3< 0\\\lim\limits_{x\rightarrow4}\left(x-4\right)^2=\left(4-4\right)^2=0\end{matrix}\right.\)
2: \(\lim\limits_{x\rightarrow3^+}\dfrac{2x-1}{x-3}=+\infty\)
vì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow3^+}2x-1=2\cdot3-1=5>0\\\lim\limits_{x\rightarrow3^+}x-3=3-3>0\end{matrix}\right.\) và x-3>0
3: \(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\dfrac{-2x+1}{x+2}\)
\(=\dfrac{-2\cdot2+1}{2+2}=\dfrac{-3}{4}\)
4: \(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\dfrac{3x-1}{x+1}=\dfrac{3\cdot1-1}{1+1}=\dfrac{2}{2}=1\)
Tìm m để \(\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{\sqrt{x^2+mx-m-3}-x}{x^2-5x+4}\) là một số hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Để giới hạn đã cho hữu hạn
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+mx-m-3}-x=0\) có nghiệm \(x=4\)
\(\Rightarrow\sqrt{16+4m-m-3}-4=0\)
\(\Rightarrow\sqrt{3m+13}=4\Rightarrow m=1\)
Khi đó:
\(\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{\sqrt{x^2+x-4}-x}{x^2-5x+4}=\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{x-4}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(\sqrt{x^2+x-4}+x\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{1}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x^2+x-4}+x\right)}=\dfrac{1}{3\left(\sqrt{4^2+4-4}+4\right)}=\dfrac{1}{24}\)
Giới hạn lim x → 2 + x 2 - 2 x 2 - x bằng - m , m 0. Giá trị
biểu thức A = m2 - 2m là:
A . - 1
B . - 2
C .8
D . 1
Tìm giới hạn của
\(x\underrightarrow{lim}0\frac{\sqrt[3]{x^3+1}-1}{x^2+x}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{x^3}{x\left(x+1\right)\left(\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{\left(x+1\right)\left(\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1\right)}=\frac{0}{1.3}=0\)
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
a) \(\lim\limits\dfrac{-2n+1}{n}\)
b) \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}\)
a) \(lim\dfrac{-2n+1}{n}=lim\dfrac{\dfrac{-2n}{n}+\dfrac{1}{n}}{\dfrac{n}{n}}=lim\dfrac{-2+\dfrac{1}{n}}{1}=\dfrac{lim\left(-2\right)+\dfrac{lim1}{n}}{lim1}=\dfrac{-2+0}{1}=-\dfrac{2}{1}=-2\)
b) \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{9-\left(x+8\right)}{\left(x-1\right)\left(3+\sqrt{x+8}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x-1}{\left(x-1\right)\left(3+\sqrt{x+8}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{1}{3+\sqrt{x+8}}=\dfrac{1}{3+\sqrt{1+8}}=\dfrac{1}{3+3}=\dfrac{1}{9}\)
tính giới hạn của hàm số
lim x->0 : \(\frac{\sqrt[m]{1+ax}-\sqrt[n]{1+bx}}{x}\)
lim ( x ----> 0 ) \(\frac{\sqrt[m]{1+ax}-\sqrt[n]{1+bx}}{x}\)
= lim ( x----> 0 ) \(\frac{\sqrt[m]{1+ax}-1+1-\sqrt[n]{1+bx}}{x}\)
= lim ( x ---> 0 ) \(\frac{\sqrt[m]{1+ax}-1}{x}\)- lim ( x ---> 0 ) \(\frac{\sqrt[n]{1+bx}-1}{x}\)
= lim ( x ----> 0 ) \(\frac{ax}{x\left(\sqrt[m]{\left(1+ax\right)^{m-1}}+\sqrt[m]{\left(1+ax\right)^{m-2}}+...+1\right)}\)
- lim ( x ----> 0 ) \(\frac{bx}{x\left(\sqrt[n]{\left(1+ax\right)^{n-1}}+\sqrt[n]{\left(1+ax\right)^{n-2}}+...+1\right)}\)
= lim ( x -----> 0 ) \(\frac{a}{\sqrt[m]{\left(1+ax\right)^{m-1}}+\sqrt[m]{\left(1+ax\right)^{m-2}}+...+1}\)
- lim ( x ---> 0 ) \(\frac{b}{\sqrt[n]{\left(1+bx\right)^{n-1}}+\sqrt[n]{\left(1+bx\right)^{n-2}}+...+1}\)
= \(\frac{a}{m}-\frac{b}{n}\)
tính giới hạn của
lim x->0 \(\frac{\left(1+mx\right)^n-\left(1+nx\right)^m}{x^2}\)
Tìm các giới hạn sau:
1/ \(\lim\limits_{x->-1}\) \(\dfrac{x^{2019}+1}{x^2+x}\)
2/ \(\lim\limits_{x->1}\) \(\dfrac{x+x^2+...+x^n-n}{x-1}\)
Lời giải:
1.
\(\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^{2019}+1}{x^2+x}=\lim\limits_{x\to -1}\frac{(x+1)(x^{2018}-x^{2017}+x^{2016}-....-x+1)}{x(x+1)}=\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^{2018}-x^{2017}+x^{2016}-....-x+1}{x}\)
\(=\frac{(-1)^{2018}-(-1)^{2017}+(-1)^{2016}+....-(-1)+1}{-1}\)
\(=\frac{\underbrace{1+1+....+1+1}_{2019}}{-1}=\frac{2019}{-1}=-2019\)
2.
\(\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)+(x^2-1)+(x^3-1)+....+(x^n-1)}{x-1}\\ =\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)+(x-1)(x+1)+(x-1)(x^2+x+1)+....+(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)}{x-1}\)
$\lim\limits_{x\to 1}[1+(x+1)+(x^2+x+1)+....+(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)]$
$=1+2+3+....+n=n(n+1):2$
\(\)
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{1}{{x - 4}}\);
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{x}{{2 - x}}\).
a) Áp dụng giới hạn một bên thường dùng, ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{1}{{x - 4}} = + \infty \)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{x}{{2 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^+ }} \frac{{ - x}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - x} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x - 2}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - x} \right) = - \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} x = - 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ +}} \frac{1}{{x - 2}} = +\infty \)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{x}{{2 - x}} = - \infty \)
