Question

Tìm m để \(\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{\sqrt{x^2+mx-m-3}-x}{x^2-5x+4}\) là một số hữu hạn và tìm giới hạn đó. 

Answer 1

Để giới hạn đã cho hữu hạn

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+mx-m-3}-x=0\) có nghiệm \(x=4\)

\(\Rightarrow\sqrt{16+4m-m-3}-4=0\)

\(\Rightarrow\sqrt{3m+13}=4\Rightarrow m=1\)

Khi đó:

 \(\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{\sqrt{x^2+x-4}-x}{x^2-5x+4}=\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{x-4}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(\sqrt{x^2+x-4}+x\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{1}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x^2+x-4}+x\right)}=\dfrac{1}{3\left(\sqrt{4^2+4-4}+4\right)}=\dfrac{1}{24}\)