\(\Delta=9-4\left(k-1\right)=13-4k\ge0\Rightarrow k\le\dfrac{13}{4}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_1x_2=k-1\end{matrix}\right.\)

\(\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=15\Leftrightarrow x_1-x_2=5\)

Kết hợp hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_1-x_2=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=4\\x_2=-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1x_2=k-1\Rightarrow k-1=-4\Rightarrow k=-3\)

\(x^2-2x+m=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4m=4-4m\)

Để pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thì \(\Delta>0\Leftrightarrow4-4m>0\Leftrightarrow-4m>-4\Leftrightarrow m< 1\)

Theo Vi-ét, ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(2\left(x_1x_2\right)^2-x_1=6+x_2\) 

\(\Leftrightarrow2\left(x_1x_2\right)^2-x_1-x_2-6=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x_1x_2\right)^2-\left(x_1+x_2\right)-6=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-2-6=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2=8\)

\(\Leftrightarrow m^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\left(ktm\right)\\m=-2\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=-2\) thì thỏa mãn đê bài.

PT $(*)$ là PT bậc nhất ẩn $x$ thì làm sao mà có $x_1,x_2$ được hả bạn?

PT cuối cũng bị lỗi.

Bạn xem lại đề!

Lời giải:

a) 

Ta có: $\Delta'=m^2-(2m-2)=m^2-2m+2=(m-1)^2+1>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

Do đó pt luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

b) 

Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-2m\\ x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)

Để $x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=4$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-5x_1x_2=4$

$\Leftrightarrow (-2m)^2-5(2m-2)=4$

$\Leftrightarrow 4m^2-10m+6=0$

$\Leftrightarrow 2m^2-5m+3=0$

$\Leftrightarrow (m-1)(2m-3)=0$

$\Rightarrow m=1$ hoặc $m=\frac{3}{2}$ (đều thỏa mãn)

Sửa đề: Tim m để phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn: \(x_1+3x_2=6\)

Giải

Ta có: \(\Delta=b^2-4ac=\left(-2m\right)^2-4.1.\left(2m-2\right)=4m^2-8m+8=4\left(m^2-2m+2\right)\)

\(=4\left[\left(m^2-2m+1\right)+1\right]=4\left[\left(m-1\right)^2+1\right]=4\left(m-1\right)^2+4>0\forall m\in R\)

Theo định lý Vi-ét, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2m\left(1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lại có: \(x_1+3x_2=6\) (3)

Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1+3x_2=6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_2=6-2m\\x_1+3x_2=6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=3-m\\x_1+3.\left(3-m\right)=6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=3-m\\x_1=3m-3\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=3m-3;x_2=3-m\) vào (2) ta được:

\(\left(3m-3\right)\left(3-m\right)=2m-2\)

\(\Leftrightarrow-3m^2+12m-9-2m+2=0\)

\(\Leftrightarrow3m^2-10m+7=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=1;m=\dfrac{7}{3}\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn \(x_1+3x_2=6\)

a. + Với  m = − 1 2   phương trình (1) trở thành x 2 − 4 x = 0 ⇔ x = 0 x = 4 .

+ Vậy khi  m = − 1 2  phương trình có hai nghiệm x= 0 và x= 4.

b. + Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi 

                            Δ = 2 m + 5 2 − 4 2 m + 1 > 0 x 1 + x 2 = 2 m + 5 > 0 x 1 . x 2 = 2 m + 1 > 0

+ Ta có  Δ = 2 m + 5 2 − 4 2 m + 1 = 4 m 2 + 12 m + 21 = 2 m + 3 2 + 12 > 0 , ∀ m ∈ R

+ Giải được điều kiện  m > − 1 2  (*).

+ Do P>0 nên P đạt nhỏ nhất khi P 2  nhỏ nhất.

+ Ta có P 2 = x 1 + x 2 − 2 x 1 x 2 = 2 m + 5 − 2 2 m + 1 = 2 m + 1 − 1 2 + 3 ≥ 3     ( ∀ m > − 1 2 ) ⇒ P ≥ 3    ( ∀ m > − 1 2 ) .

và P = 3  khi m= 0 (thoả mãn (*)).

+ Vậy giá trị nhỏ nhất  P = 3  khi m= 0.

a, Thay m=0 vào pt ta có:

\(x^2-x+1=0\)

\(\Rightarrow\) pt vô nghiệm 

b, Để pt có 2 nghiệm thì \(\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(-1\right)^2-4.1\left(m+1\right)\ge0\\ \Leftrightarrow1-4m-4\ge0\\ \Leftrightarrow-3-4m\ge0\\ \Leftrightarrow4m+3\le0\\ \Leftrightarrow m\le-\dfrac{3}{4}\)

Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_1x_2=m+1\end{matrix}\right.\)

\(x_1x_2\left(x_1x_2-2\right)=3\left(x_1+x_2\right)\\ \Leftrightarrow\left(x_1x_2\right)^2-2x_1x_2=3.1\\ \Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-2\left(m+1\right)-3=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m+1=3\\m+1=-1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\left(ktm\right)\\m=-2\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

a, Thay \(m=1\) vào \(\left(1\right)\)

\(\Rightarrow x^2-7x+1=0\\ \Delta=\left(-7\right)^2-4.1.1=45\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}\\x_2=\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

b,  \(\Delta=\left(-7\right)^2-4.m=49-4m\)

phương trình cs nghiệm \(49-4m\ge0\\ \Rightarrow m\le\dfrac{49}{4}\)

Áp dụng hệ thức vi ét 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=7\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

\(x^2_1+x^2_2=29\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=29\\ \Leftrightarrow7^2-2.m-29=0\\ \Leftrightarrow20-2m=0\\ \Rightarrow m=10\left(t/m\right)\)

Vậy \(m=10\)

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm pb thì:

$\Delta'=1-(2-m)=m-1>0\Leftrightarrow m>1$

Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=2-m\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

$2x_1^3+(m+2)x_2^2=5$

$\Leftrightarrow 2x_1^3+(2x_1+2x_2-x_1x_2)x_2^2=5$

$\Leftrightarrow 2(x_1^3+x_2^3)+x_1(2-x_2)x_2^2=5$

\(\Leftrightarrow 2[(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)]+x_1^2x_2^2=5\)

\(\Leftrightarrow 2[8-6(2-m)]+(2-m)^2=5\)

\(\Leftrightarrow m^2+8m-9=0\Leftrightarrow (m-1)(m+9)=0\)

Vì $m>1$ nên không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn.

\(\Delta=\left(m+4\right)^2-4\left(3m+3\right)=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\ge0\) ; \(\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+4\\x_1x_2=3m+3\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2-x_1=x_2-x_2^2+8\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2-\left(x_1+x_2\right)-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+4\right)^2-2\left(3m+3\right)-\left(m+4\right)-8=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+m-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-2\end{matrix}\right.\)