Cho ΔABC vuông tại A. Vẽ đg cao AH. Gọi MN lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, AH. CMR
a) AB.AN=AC.BM
b)ΔABM ~ ΔCAN
Áp dụng đường trung bình trong tg ABH có MN // AB nên MN vuông góc AC (vì tg ABC vuông tại A) . Trong tg ANC có M trực tâm nên CM vuông góc AN (đường cao thứ 3)
Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat {A{\rm{ }}} = 120^\circ \). Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng:
a) \(\Delta \)BAM = \(\Delta \)CAN;
b) Các tam giác ANB, AMC lần lượt cân tại N, M.
a) Xét 2 tam giác vuông BAM và CAN có:
\(\widehat{BAM} = \widehat{CAM}(=90^0)\)
AB=AC (Do tam giác ABC cân tại A)
\(\widehat B = \widehat C\) (Do tam giác ABC cân tại A)
=>\(\Delta BAM = \Delta CAN\)(g.c.g)
b) Cách 1:
Xét tam giác ABC cân tại A, có \(\widehat {A{\rm{ }}} = 120^\circ \) có:
\(\widehat B = \widehat C = \frac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}\).
Xét tam giác ABM vuông tại A có:
\(\widehat {B} + \widehat {BAM} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow {30^o} + {90^o} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMB} = {60^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMC} = {180^o} - \widehat {AMB} = {180^o} - {60^o} = {120^o}\)
Xét tam giác MAC có:
\(\begin{array}{l}\widehat {AMC} + \widehat {MAC} + \widehat C = {180^o}\\ \Rightarrow {120^o} + \widehat {MAC} + {30^o} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {MAC} = {30^o} = \widehat C\end{array}\)
\(\Rightarrow \) Tam giác AMC cân tại M.
Vì \(\Delta BAM = \Delta CAN\)
=> BM=CN ( 2 cạnh tương ứng)
=> BM+MN=CN+NM
=> BN=CM
Xét 2 tam giác ANB và AMC có:
AB=AC (cmt)
\(AN = AM\)(do \(\Delta BAM = \Delta CAN\))
BN=MC (cmt)
=>\(\Delta ANB = \Delta AMC\)(c.c.c)
Mà tam giác AMC cân tại M.
=> Tam giác ANB cân tại N.
Cách 2:
Xét tam giác ABC cân tại A, có \(\widehat {A{\rm{ }}} = 120^\circ \) có:
\(\widehat B = \widehat C = \frac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}\).
Xét tam giác ABM vuông tại A có:
\(\widehat B + \widehat {BAM} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow {30^o} + {90^o} + \widehat {AMB} = {180^o}\\ \Rightarrow \widehat {AMB} = {60^o}\)
Vì \(\Delta BAM = \Delta CAN\) nên AM = AN (2 cạnh tương ứng)
=> \(\Delta AMN\) đều (Tam giác cân có 1 góc bằng 60 độ)
=> \(\widehat {NAM}=60^0\)
Ta có: \(\widehat{BAN}+\widehat{NAM}=\widehat{BAM}\)
=> \(\widehat{BAN} + 60^0=90^0\)
=> \(\widehat{BAN}=30^0\)
Xét tam giác ABN có \(\widehat{BAN}=\widehat{ABN}(=30^0\) nên \(\Delta ABN\) cân tại N.
Ta có: \(\widehat{CAM}+\widehat{NAM}=\widehat{CAN}\)
=> \(\widehat{CAM} + 60^0=90^0\)
=> \(\widehat{CAM}=30^0\)
Xét tam giác ACM có \(\widehat{CAM}=\widehat{ACM}(=30^0\) nên \(\Delta ACM\) cân tại M.
cho Δ ABC can tai A co goc A< 90 do.ke BH vuong goc voi AC,CK vuong goc voi AB.goi O la giao diem cua BH va CK
a,chung minh Δ ABD = Δ ACK
b,Δ OBC can
c,Δ OBK=Δ OCH
a: Xét ΔABH vuông tại H và ΔACK vuông tại K có
AB=AC
góc BAH chung
Do đó ΔABH=ΔACK
b: Xét ΔOBC có \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)
nên ΔOBC cân tại O
c: Xét ΔOBK vuông tại K và ΔOCH vuông tại H có
OB=OC
KB=HC
Do đó:ΔOBK=ΔOCH
Câu 12. (3 điểm) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A} = 120^{\circ}$. Trên cạnh $BC$ lấy hai điểm $M,$ $N$ sao cho $MA$, $NA$ lần lượt vuông góc với $AB$, $AC$. Chứng minh rằng:
a) $\Delta BAM = \Delta CAN$;
b) $BN = CM$;
c) $\Delta ANB$ cân tại $N$.
tam giác ABC cân tại A nên
\(\widehat{B}\) = \(\widehat{C}\)
=> \(\widehat{ABM}\) = \(\widehat{ACN}\) (1)
AB = AC (2)
\(\widehat{BAM}\) = \(\widehat{CAN}\) = 900 (3)
Kết hợp (1); (2); (3) ta có : Δ BAM = Δ CAN ( g-c-g)
=> BM = CN
BM = BN + MN = MN + CM
⇒ BN = CM
\(\widehat{BAN}\) + \(\widehat{NAC}\) = \(\widehat{BAC}\) = 1200
⇒ \(\widehat{BAN}\) = 1200 - \(\overline{NAC}\) = 1200 - 900 = 300
\(\widehat{ABN}\) = ( 1800 - 120 0 ) : 2 = 300 = \(\widehat{BAN}\) ⇒Δ ANB cân tại N 
Bài 8: Cho ΔABC có \(sinB=2sinA.cosC\). CMR : ΔABC cân tại B
Bài 9 : Cho ΔABC có S= p(p-a) . CMR : ΔABC vuông tại A
Bài 10: Cho ΔABC , CM nếu \(5m_a^2=m_b^2+m_c^2\) thì ΔABC vuông tại A
Bài 11:Cho ΔABC có sin A(cosB+cosC) =sinB + sin C . CMR : ΔABC vuông
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), \(AH\) là đường cao
\(a\)) Chứng minh \(\Delta HBA\) đồng dạng \(\Delta ABC\)
\(b\)) Chứng minh \(\Delta AH^2=BH.HC\)
a)xét ΔABC và ΔHBA ta có
\(\widehat{BAH}=\widehat{BHA}=90^o\)
\(\widehat{B}chung\)
=>ΔABC ∼ ΔHBA(g.g)(1)
b)xét ΔABC và ΔAHC ta có
\(\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90^o\)
\(\widehat{B}chung\)
->ΔABC ∼ ΔAHC(g.g)(2)
từ (1) và (2)=>ΔHBA và ΔAHC
->\(\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{HC}{AH}\)
=>\(AH^2=BH.HC\)
a) Xét ΔABD vuông tại A và ΔFBD vuông tại F có
BD là cạnh chung
BA=BF(gt)
Do đó: ΔABD=ΔFBD(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
b) Xét ΔAED vuông tại A và ΔFCD vuông tại F có
DA=DF(ΔABD=ΔFBD)
\(\widehat{ADE}=\widehat{FDC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔAED=ΔFCD(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
⇒AE=FC(hai cạnh tương ứng)
Ta có: AE+AB=EB(A nằm giữa E và B)
FC+FB=BC(F nằm giữa B và C)
mà AE=FC(cmt)
và AB=FB(gt)
nên EB=BC
Xét ΔABC vuông tại A và ΔFEB vuông tại F có
BC=EB(cmt)
BA=BF(gt)
Do đó: ΔABC=ΔFEB(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Cho Δ ABC có 3 góc nhọn. Vẽ về phía ngoài của Δ ABC các ΔABK vuông tại A và Δ CAD vuông tại A có AB = AK; AC= AD. CMr
a) ΔACK = Δ ABD
b) KC vuông góc BD
a)Ta có:
\(\widehat{KAB}=\widehat{DAC}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{KAB}+\widehat{BAC}=\widehat{DAC}+\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{KAC}=\widehat{DAB}\)
Xét △KAC và △BAD có:
KA=BA (gt)
\(\widehat{KAC}=\widehat{BAD}\)(cmt)
AC=AD (gt)
⇒ △KAC = △BAD (cgc)
b)Gọi M là giao điểm của AB và KC
N là giao điểm của BD và KC
Từ △KAC = △BAD (câu a)
\(\Rightarrow\widehat{AKC}=\widehat{ABD}\) hay \(\widehat{AKM}=\widehat{MBN}\)
Xét △AKM có:
\(\widehat{AKM}+\widehat{KMA}+\widehat{MAK}=180^0\) (1)
Xét △MBN có:
\(\widehat{MBN}+\widehat{BNM}+\widehat{NMB}=180^0\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\widehat{AKM}+\widehat{KMA}+\widehat{MAK}=\)\(\widehat{MBN}+\widehat{BNM}+\widehat{NMB}\)
Mà ta lại có:
\(\widehat{AKM}=\widehat{MBN}\)(cmt) ; \(\widehat{KMA}=\widehat{NMB}\)(đối đỉnh)
\(\Rightarrow\widehat{MAK}=\widehat{BNM}=90^0\)
⇒KC⊥BD (đpcm)
Cho \(\Delta\)ABC nhọn (AB<AC). Đường cao BM,CN,Ak cắt nhau tại H
a) Cm \(\Delta\)ABM \(\sim\)\(\Delta\)CAN
b)Cm \(\Delta\)AMN \(\sim\Delta\)ABC
c)Cm BH.BM + CH.CN =\(BC^2\)
d) Giả sử góc BAC bằng \(60^o\).Cn \(S_{\Delta AMN}=\frac{1}{4}S_{\Delta ABC}\)
Cho \(\Delta ABC\) cân tại A , đường cao \(BB'\) và \(CC'\) giao nhau tại H . Vẽ ngoài \(\Delta ABC\) các \(\Delta ABM\) cân tại B , \(\Delta CAN\) cân tại C sao cho \(M,B,B'\) ; \(C,C,N'\) thẳng hàng .
Vẽ hộ cái hình , cảm ơn ! Cơ mà ... thôi ~
