Có : a + b + c = 0

=> (a + b)⁵ = (-c)⁵

      a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ = -c⁵

      a⁵ + b⁵ + c⁵ = -5a⁴b - 10a³b² - 10a²b³ - 5ab⁴

       a⁵ + b⁵ + c⁵ = -5ab(a³ + 2a²b + 2ab² + b³)

      a⁵ + b⁵ + c⁵ = -5ab[(a³ + b³) + (2a²b + 2ab²)]

      a⁵ + b⁵ + c⁵ = -5ab[(a + b)(a² - ab + b²) + 2ab(a + b)]

      a⁵ + b⁵ + c⁵ = -5ab(a + b)(a² + b² + ab)  

      a⁵ + b⁵ + c⁵ = 5abc(a² + b² + ab)   (do a+b+c=0=> a+b=-c)

      2(a⁵ + b⁵ + c⁵) = 5abc(2a² + 2b² + 2ab)

      2(a⁵ + b⁵ + c⁵) = 5abc[a² + b² +(a² + 2ab + b²)]

      2(a⁵ + b⁵ + c⁵) = 5abc[a² + b² + (a + b)²]

      2(a⁵ + b⁵ + c⁵) = 5abc(a² + b² + c²)    (do a+b=-c=> (a +b )² = c²

    \(\Leftrightarrow\) \(a^5+b^5+c^5=\dfrac{5}{2}abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Vậy...

Lời giải:

Ta thấy:
$(ab+cd)(ac+bd)=ad(c^2+b^2)+bc(a^2+d^2)$

$=(ad+bc)t$

Mà: 

$2(t-ab-cd)=(a-b)^2+(c-d)^2>0$ nên $t> ab+cd$

Tương tự: $t> ac+bd$

Kết hợp $(ab+cd)(ac+bd)=(ad+bc)t$ nên:

$ab+cd> ad+bc, ac+bd> ad+bc$

Nếu $ab+cd, ac+bd$ đều thuộc $P$. Do $ad+bc$ là ước của $ab+cd$ hoặc $ac+bd$. Điều này vô lý 

Do đó ta có đpcm.

b: (3x-2)^5+(5-x)^5+(-2x-3)^5=0

Đặt a=3x-2; b=-2x-3

Pt sẽ trở thành:

a^5+b^5-(a+b)^5=0

=>a^5+b^5-(a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5)=0

=>-5a^4b-10a^3b^2-10a^2b^3-5ab^4=0

=>-5a^4b-5ab^4-10a^3b^2-10a^2b^3=0

=>-5ab(a^3+b^3)-10a^2b^2(a+b)=0

=>-5ab(a+b)(a^2-ab+b^2)-10a^2b^2(a+b)=0

=>-5ab(a+b)(a^2-ab+b^2+2ab)=0

=>-5ab(a+b)(a^2+b^2+ab)=0

=>ab(a+b)=0

=>(3x-2)(-2x-3)(5-x)=0

=>\(x\in\left\{\dfrac{2}{3};-\dfrac{3}{2};5\right\}\)

Đặt \(A=a^5+b^5+c^5\)

\(A-\left(a+b+c\right)=a^5-a+b^5-b+c^5-c\)

Ta có: \(B=a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)

Nếu \(a\) chia hết cho 5 \(\Rightarrow B\) chia hết cho 5

Nếu a chia 5 dư 1 hoặc -1 \(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) chia hết chi 5 \(\Rightarrow\)B chia hết cho 5

Nếu a chia 5 dư 2 hoặc -2 \(\Rightarrow a^2+1\) chia 5 dư \(\left(\pm2\right)^2+1=5\Rightarrow a^2+1⋮5\Rightarrow B⋮5\)

Vậy \(B=a^5-a⋮5\) với mọi a nguyên

Hoàn toàn tương tự, \(b^5-b\) và \(c^5-c\) chia hết cho 5 với mọi b; c

\(\Rightarrow A-\left(a+b+c\right)⋮5\Rightarrow A⋮5\) (đpcm)

(Có thể ngắn gọn hơn là \(a^5\equiv a\left(mod5\right)\Rightarrow a^5-a⋮5\) ; \(\forall a\in Z\))

Refer:

a² + b² + c² + d² + e² ≥ a(b + c + d + e)

Ta có: a² + b² + c² + d² + e²= (a²/4 + b²) + (a²/4 + c²) + (a²/4 + d²) + (a²/4 + e²)

Lại có: (a/2 - b)² ≥ 0 <=> a²/4 - ab + b² ≥ 0 <=> a²/4 + b² ≥ ab

Tương tự ta có:. a²/4 + c² ≥ ac.

a²/4 + d² ≥ ad.

a²/4 + e² ≥ ae

--> (a²/4 + b²) + (a²/4 + c²) + (a²/4 + d²) + (a²/4 + e²) ≥ ab + ac + ad + ae

<=> a² + b² + c² + d² + e² ≥ a(b + c + d + e)

=> đpcm.

Dấu " = " xảy ra <=> a/2 = b = c = d = e.