Cho p là số nguyên tố lẻ và a, b, c, d là các số nguyên dương nhỏ hơn p đồng thời a²+b² chia hết cho p và c²+d² chia hết cho p. C/m: Trong 2 số ac + bd và ad + bc có một và chỉ một số chia hết cho p.

Cho a,b,c không âm, không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Tìm GTNN của \(Q=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\sqrt[]{\dfrac{2c}{a+b}}\)

Từ đoạn Suy ra 

Lại có p>q>3 nên q=3k+1, 3k+2 ( k là stn và k>0 )

Loại q=3k+1 vì nếu q=3k+1 thì p=3(k+1) chia hết cho 3 là hợp số( vô lý)

Vậy q=3k+2 nên p=3(k+1)+1

Đặt k=2m, 2m+1

Nếu k=2m thì q=3(2m+1)+1. Mà 3(2m+1) là số lẻ nên q chẵn. Mà q là số nguyên tố và q>2 nên q lẻ ( vô lý)

Vậy k=2m+1

Suy ra \(q^3+p^3=18k^3+162k^2+180k+72\)

Dễ thấy \(180k+72⋮36\)

Cần cm \(18k^3+162k^2⋮36\)

Dễ thấy \(18k^3+162k^2\) chia hết cho 9 (1)

Vì m là số lẻ nên m chia 4 dư 1 hoặc 3

Xét 2 trường hợp suy ra \(18k^3+162k^2\) chia hết cho 4  (2)

Từ (1),(2) và 4 và 9 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Suy ra \(18k^3+162k^2⋮36\) 

Vậy ta có điều phải chứng minh

Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. Tìm GTLN của \(Q=\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)