Question

cho a,b,b là các số dương và a²+b²+c²=1. Tìm GTNN của biểu thức: 

P=\(\dfrac{bc}{a}\)+\(\dfrac{ac}{b}\)+\(\dfrac{ab}{c}\)

Answer 1

Lời giải:
$P=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc}$

Áp dụng BĐT AM-GM, dạng $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)$ ta có:

$(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)^2\geq 3(a^2b^4c^2+a^4b^2c^2+a^2b^2c^4)$

$=3a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)=3a^2b^2c^2$

$\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq \sqrt{3}abc$

$\Rightarrow P=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc}\geq \sqrt{3}$

Vậy $P_{\min}=\sqrt{3}$. Giá trị này đạt tại $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$