BPT \(x^2-2mx+m^2-m+3\le0\) có tập nghiệm S đã cho nên \(x_1;x_2\) là nghiệm:

\(x^2-2mx+m^2-m+3=0\) với \(\Delta=m^2-\left(m^2-m+3\right)=m-3\ge0\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-m+3\end{matrix}\right.\)

Mặt khác, do \(x_1\) là nghiệm nên: \(x_1^2=2mx_1-m^2+m-3\)

Thay vào bài toán:

\(\sqrt{2mx_1-m^2+m-3+2mx_2+m^2-m+3}=\left|m-9\right|\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2m\left(x_1+x_2\right)}=\left|m-9\right|\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4m^2}=\left|m-9\right|\)

\(\Leftrightarrow4m^2=m^2-18m+81\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-9\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Delta=\left(m-1\right)^2-4\left(m+3\right)=m^2-6m-11>0\) (1)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-1\\x_1x_2=m+3\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=\left(m-1\right)^2-2\left(m+3\right)=m^2-4m-5\)

Biểu thức này ko tồn tại cả min lẫn max với điều kiện m từ (1)

a:Sửa đề: x^2-(m+1)x+2m-8=0

Khi m=2 thì (1) sẽ là x^2-3x-4=0

=>(x-4)(x+1)=0

=>x=4 hoặc x=-1

b: Δ=(-m-1)^2-4(2m-8)

=m^2+2m+1-8m+32

=m^2-6m+33

=(m-3)^2+24>=24>0

=>(1) luôn có hai nghiệm pb

\(x_1^2+x_2^2+\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)=11\)

=>(x1+x2)^2-2x1x2+x1x2-2(x1+x2)+4=11

=>(m+1)^2-(2m-8)-2(m+1)+4=11

=>m^2+2m+1-2m+8-2m-2+4=11

=>m^2-2m=0

=>m=0 hoặc m=2

\(\text{Δ}=2^2-4\cdot1\cdot m=4-4m\)

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

=>-4m+4>=0

=>-4m>=-4

=>m<=1(1)

Theo Vi-et, ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{x_1^2-3x_1+m}{x_2}+\dfrac{x_2^2-3x_2+m}{x_1}< =2\)

=>\(\dfrac{x_1^3+x_2^3-3\left(x_1^2+x_2^2\right)+m\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}< =2\)

=>\(\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2-3\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]+m\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}< =2\)

=>\(\dfrac{\left(-2\right)^3-3\cdot m-3\left[\left(-2\right)^2-2m\right]+m\cdot\left(-2\right)}{m}< =2\)

=>\(\dfrac{-8-3m-3\left(4-2m\right)-2m}{m}-2< =0\)

=>\(\dfrac{-5m-8-12+6m}{m}-2< =0\)

=>\(\dfrac{m-20-2m}{m}< =0\)

=>\(\dfrac{-m-20}{m}< =0\)

=>\(\dfrac{m+20}{m}>=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< =-20\end{matrix}\right.\)

Kết hợp (1), ta được: \(\left[{}\begin{matrix}0< m< =1\\m< =-20\end{matrix}\right.\)

\(\Delta'=m^2-6x+9-2m+7=m^2-8m+16=\left(m-4\right)^2\)

để phương trình có 2 nghiệm phân biệt =>  \(m\ne4\)

vời m khác 4 theo viet :

\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m-6\left(1\right)\\x1.x2=2m-7\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(x2-2x1=1\left(3\right)\)

từ 1 và 3 ta có hpt : 

\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m-6\\-2x1+x2=1\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}3x1=2m-7\\-2x1+x2=1\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}x1=\dfrac{2m-7}{3}\\\dfrac{-4m+14}{3}+x2=1\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}x1=\dfrac{2m-7}{3}\\x2=1-\dfrac{-4m+14}{3}=\dfrac{4m-11}{3}\end{matrix}\right.\)

thay \(\left\{{}\begin{matrix}x1=\dfrac{2m-7}{3}\\x2=1-\dfrac{-4m+14}{3}=\dfrac{4m-11}{3}\end{matrix}\right.\) vào phương trình 2

<=>\(\dfrac{2m-7}{3}.\dfrac{4m-11}{3}=2m-7< =>8m^2-50m+77=18m-63< =>8m^2-68m+140=0< =>\left(m-5\right)\left(2m-7\right)=0< =>m=5\left(tm\right);m=\dfrac{7}{2}\left(tm\right)\)

\(\Delta=9-4m>0\Rightarrow m< \dfrac{9}{4}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{x_1^2+1}+\sqrt{x_2^2+1}=3\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2+2\sqrt{\left(x_1^2+1\right)\left(x_2^2+1\right)}=27\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\sqrt{\left(x_1x_2\right)^2+\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+1}=25\)

\(\Leftrightarrow9-2m+2\sqrt{m^2+9-2m+1}=25\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{m^2-2m+10}=m+8\left(m\ge-8\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+10=m^2+16m+64\)

\(\Rightarrow m=-3\) (thỏa mãn)

Pt trên có a=1, b=5, c=-3m+2

\(\Delta=b^2-4ac=25-4\cdot1\cdot\left(-3m+2\right)=17+12m\)

Để pt có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)<=> 17+12m >0  <=>m> 17/12

Theo hệ thức Viet, ta có:

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-5\\x_1\cdot x_2=-3m+2\end{cases}}\)

\(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1\cdot x_2=25-4\left(-3m+2\right)=17+12m=10\)

=> 12m = -7      <=>m=-7/12 (thỏa đkxđ)

Vậy với m=-7/12 thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa (x1 - x2)^2 =10

=>căn 2x1=x2-1

=>2x1=x2^2-2x2+1

=>x2^2-2(x1+x2)+1=0

=>x2^2-2(2m+1)+1=0

=>x2^2=4m+2-1=4m+1

=>\(x_2=\pm\sqrt{4m+1}\)

=>\(x_1=2m+1\pm\sqrt{4m+1}\)

x1*x2=m^2-m

=>m^2-m=4m+1\(\pm2m+1\)

=>m^2-5m-1=\(\pm2m+1\)

TH1: m^2-5m-1=2m+1

=>m^2-7m-2=0

=>\(m=\dfrac{7\pm\sqrt{57}}{2}\)

TH2: m^2-5m-1=-2m-1

=>m^2-3m=0

=>m=0; m=3

a. Khi m=2 thì  (1) có dạng :

\(x^2-6\left(2-1\right)x+9\left(2-3\right)=0\\ \Leftrightarrow x^2-6x-9=0\\ \Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=18\Leftrightarrow x-3=\pm\sqrt{18}\\ \Leftrightarrow x=3\pm3\sqrt{2}\)

Vậy với m=2 thì tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{3\pm3\sqrt{2}\right\}\)

b. Coi (1) là phương trình bậc 2 ẩn x , ta có:

\(\text{Δ}'=\left(-3m+3\right)^2-1\cdot9\left(m-3\right)=9m^2-18m+9-9m+27\\ =9m^2-27m+36=\left(3m-\dfrac{9}{2}\right)^2+\dfrac{63}{4}>0\)

Nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=6\left(m-1\right)\\x_1x_2=9\left(m-3\right)\end{matrix}\right.\left(2\right)\)

Vì

 \(x_1+x_2=2x_1x_2\\ \Leftrightarrow6\left(m-1\right)=18\left(m-3\right)\Leftrightarrow m-1=3m-9\\ \Leftrightarrow2m=8\Leftrightarrow m=4\)

Vậy m=4

b) Ta có: \(\text{Δ}=\left[-6\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot9\left(m-3\right)\)

\(=\left(6m-6\right)^2-36\left(m-3\right)\)

\(=36m^2-72m+36-36m+108\)

\(=36m^2-108m+144\)

\(=\left(6m\right)^2-2\cdot6m\cdot9+81+63\)

\(=\left(6m-9\right)^2+63>0\forall m\)

Suy ra: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=6\left(m-1\right)=6m-6\\x_1\cdot x_2=9\left(m-3\right)=9m-27\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1+x_2=2x_1\cdot x_2\)

\(\Leftrightarrow6m-6=2\left(9m-27\right)\)

\(\Leftrightarrow6m-6-18m+54=0\)

\(\Leftrightarrow-12m+48=0\)

\(\Leftrightarrow-12m=-48\)

hay m=4

Vậy: m=4

a: Thay m=-5 vào (1), ta được:

\(x^2+2\left(-5+1\right)x-5-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-8x-9=0\)

=>(x-9)(x+1)=0

=>x=9 hoặc x=-1

b: \(\text{Δ}=\left(2m+2\right)^2-4\left(m-4\right)=4m^2+8m+4-4m+16=4m^2+4m+20>0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 

\(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=-3\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=-3x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2+m-4=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+9m=0\)

=>m(4m+9)=0

=>m=0 hoặc m=-9/4