Thật ra mình nghĩ 1 lập luận hợp lý là sử dụng lim, đây cũng có thể là 1 bài toán căn bản khi người ta xây dựng lên Giới hạn - Giải tích, một phần rất quan trọng trong Toán học.

Trước tiên một số phép toán trên trường các số vô tỉ chưa được khẳng định tồn tại (ý là theo cách biểu diễn mơ hồ như kia, chứ không phải là không tồn tại phép cộng trừ nhân chia), và đương nhiên ta phải tìm cách xác định thực chất số 0,(9) là gì ? 

Theo ý kiến của mình, nó xác định bởi 1 chuỗi tổng vô hạn:

\(S=\sum_{i=1}^{ +\infty}\dfrac{9}{10^i}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n\dfrac{9}{10^i}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{9\left(1-\dfrac{1}{10^n}\right)}{10-1}=1\)

Theo đánh giá của em, bài toán anh nên để ở lớp 12, và thực sự cần chặt chẽ điều kiện. Em nghĩ đề chọn đội tuyển ở anh cũng phải chặt chẽ hơn.

Với bài toán x^y=y^x với x,y>0 thì trên mạng đã đề cập rất nhiều với bài toán này; x,y khác nhau vẫn có nghiệm, và là 1 hàm được định nghĩa mới, chứ không phải xác định được dễ dàng.

Equation xy = yx - Wikipedia

10

9

8

7

6

5

4