Đặt A = n⁵ - n = n.(n⁴ - 1)
= n.(n² + 1)(n² - 1)
= n.(n² + 1)(n - 1)(n + 1) (\(⋮6\), vì \(⋮2,3\)) (1)
= n.(n² - 4 + 5)(n - 1)(n + 1)
= n[(n-2)(n+2)+5](n - 1)(n + 1)
= [n(n-2)(n+2)+5n](n - 1)(n + 1)
= n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) + 5n(n - 1)(n + 1)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}\text{n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) ⋮ 5 }\\\text{5n(n - 1)(n + 1) ⋮ 5 }\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\text{ n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) + 5n(n - 1)(n + 1) }⋮5\)
\(\Rightarrow A⋮5\) (2)
Từ (1)(2)=> \(A⋮30\) do (5,6)=1

\(n^3+3n^2+2n=n\left(n^2+3n+2\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\) (vì là 3 số nguyên lt)

\(n^3+3n^2+2n-n\left(n^2+3n+2\right)\)

\(=n\left[n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3

\(\Rightarrow n^3+3n^2+2n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2.3=6\forall n\in Z\)

\(n^3+3n^2+2n\)

\(=n\left(n^2+3n+2\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)

Ta có :

\(n^3-13n=n^3-n-12n=n\left(n^2-1\right)-12n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-12n\)

Với mọi số nguyên n ta có :

+) \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\) (tích của 3 số nguyên liên tiếp )

+) \(12n⋮6\)

\(\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-12n⋮6\)

\(\Leftrightarrow n^3-12n⋮6\left(đpcm\right)\)

Lời giải:

* CM $A$ chia hết cho $2$

Ta thấy $(7n+1)-n=6n+1$ lẻ, chứng tỏ $7n+1,n$ luôn khác tính chẵn lẻ.

Do đó luôn tồn tại 1 trong 2 số là chẵn

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)$ chẵn, hay $A\vdots 2(*)$

* CM $A$ chia hết cho $3$. Xét modulo $3$ cho $n$:

Nếu $n=3k(k\in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow n\vdots 3\Rightarow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Nếu $n=3k+1\Rightarrow 2n+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)\vdots 3$

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Nếu $n=3k+2\Rightarrow 7n+1=7(3k+2)+1=3(7k+5)\vdots 3$

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Vậy tóm lại $A\vdots 3(**)$

Từ $(*); (**), mà $(2,3)=1$ nên $A\vdots (2.3)$ hay $A\vdots 6$ (đpcm)

Lời giải:

* CM $A$ chia hết cho $2$

Ta thấy $(7n+1)-n=6n+1$ lẻ, chứng tỏ $7n+1,n$ luôn khác tính chẵn lẻ.

Do đó luôn tồn tại 1 trong 2 số là chẵn

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)$ chẵn, hay $A\vdots 2(*)$

* CM $A$ chia hết cho $3$. Xét modulo $3$ cho $n$:

Nếu $n=3k(k\in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow n\vdots 3\Rightarow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Nếu $n=3k+1\Rightarrow 2n+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)\vdots 3$

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Nếu $n=3k+2\Rightarrow 7n+1=7(3k+2)+1=3(7k+5)\vdots 3$

$\Rightarrow A=n(2n+1)(7n+1)\vdots 3$

Vậy tóm lại $A\vdots 3(**)$

Từ $(*); (**), mà $(2,3)=1$ nên $A\vdots (2.3)$ hay $A\vdots 6$ (đpcm)

A=a^5-a=a(a^4-1)

=a(a-1)(a+1)(a^2+1)

Vì a;a-1;a+1 là 3 số liên tiếp

nên a(a-1)(a+1) chia hết cho 3!=6

=>A chia hết cho 6

Vì 5 là số nguyên tố

nên a^5-a chia hết cho 5

=>A chia hết cho 30

\(A=n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3\)

\(=n^3+n^3+3n^2+3n+1+n^3+6n^2+12n+8\)

\(=3n^3+9n^2+15n+9\)

\(=3n^2\left(n+1\right)+6n\left(n+1\right)+9\left(n+1\right)\)

\(=3\left(n+1\right)\left(n^2+2n+3\right)\)

\(=3\left(n+1\right)\left[n\left(n+2\right)+3\right]\)

\(=3n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+9\left(n+1\right)\)

Do \(n,n+1,n+2\) là 3 số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow3n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮9\)

\(\Rightarrow A=3n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+9\left(n+1\right)⋮9\left(đpcm\right)\)

P/s : Bài này bạn có thể sử dụng phương pháp quy nạp

làm như vậy sẽ nhanh hơn

5(a+2007)³ + 15 (a+ 2007)² + 10(a+2007)

=5(a+2007)³ + 5 (a+ 2007)² + 10(a+ 2007)² + 10(a+2007) = 5(a+2007)² [ (a+ 2007) +1] +10(a+2007) [(a+2007) + 1]

=5(a+2007)² (a+ 2008) +10(a+2007)(a+2008) = 5(a+2007)(a+2008) (a+2007 +2) = 5(a+2007)(a+2008) (a+2009)

nhận xét : tích trên chia hết cho 5

và  a+2007; a+2008 ; a+2009 là các số nguyên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 6

=> 5(a+2007)(a+2008) (a+2009) chia hết cho BCNN(5;6) = 30 => đpcm

a) Ta có: m^3-m = m(m^2-1^2) = m.(m+1)(m-1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp

 => m(m+1)(m-1) chia hết cho 3 và 2

Mà (3,2) = 1

=> m(m+1)(m-1) chia hết cho 6

=> m^3 - m  chia hết cho 6  V m thuộc Z

b) Ta có: (2n-1)-2n+1 = 2n-1-2n+1 = 0-1+1 = 0 luôn chia hết cho 8

=> (2n-1)-2n+1 luôn chia hết cho 8 V n thuộc Z

Tick nha pham thuy trang

a, m³ - m = m( m² - 1²) = m(m - 1 ) ( m + 1) => 3 số nguyên liên tiếp : hết cho 6

mk chỉ biết có thế thôi

công thanh sai rồi số nguyên chứ đâu phải số tự nhiên