Đặt \(f\left(x\right)=2arctgx+arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=\eta,x\ge1\)

Ta có \(f'\left(x\right)=2.\frac{1}{1+x^2}+\frac{\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)^'}{\sqrt{1-\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)}^2}\)

\(=\frac{2}{1+x^2}+\frac{2\left(1-x^2\right)}{\left(1-x^2\right)^2}.\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)^2}{\left(1+x^2\right)^2-4x^2}}\)

\(=\frac{2}{1+x^2}+\frac{2\left(1-x^2\right)}{1+x^2}.\frac{1}{\sqrt{\left(x^2-1\right)^2}}\)

\(=\frac{2}{1+x^2}+\frac{2\left(1-x^2\right)}{1+x^2}.\frac{1}{x^2-1}\left(x>1\Leftrightarrow x^2-1>0\right)\)

\(=\frac{2}{1+x^2}-\frac{2}{1+x^2}=0,\forall x>1\)

Suy ra f(x) là hằng số trên \(\left(1,\infty\right).\)

mà \(f\left(\sqrt{3}\right)=2arctg\sqrt{3}+arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}=2.\frac{\eta}{3}+\frac{\eta}{3}=\eta\)

nên \(f\left(x\right)=\eta,\forall x\in\left(1,\infty\right)\)

Hơn nữa \(f\left(1\right)=2arctg1+arcsin1=2.\frac{\eta}{4}.\frac{\eta}{2}=\eta\)

Do vậy: \(2arctgx+arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=\eta,\forall x\ge1.\)

Các đơn thức là :

\(\left(1-\dfrac{1}{\sqrt[]{3}}\right)x^2;x^2.\dfrac{7}{2}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{x^2+1}=a>0\\y+\sqrt{y^2+1}=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+1}=a-x\\\sqrt{y^2+1}=b-y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2ax=a^2-1\\2by=b^2-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{a^2-1}{2a}\\y=\dfrac{b^2-1}{2b}\end{matrix}\right.\)

 \(\Rightarrow\left(\dfrac{a^2-1}{2a}+\sqrt{\left(\dfrac{b^2-1}{2b}\right)+1}\right)\left(\dfrac{b^2-1}{2b}+\sqrt{\left(\dfrac{a^2-1}{2a}\right)+1}\right)=1\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{a^2-1}{2a}+\dfrac{b^2+1}{2b}\right)\left(\dfrac{b^2-1}{2b}+\dfrac{a^2+1}{2a}\right)=1\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a-b}{2ab}\right)\left(\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a-b}{2ab}\right)=\dfrac{4ab}{4ab}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4ab}-\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4ab}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}-\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4ab}-\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4\left(ab\right)^2}+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4ab}=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\left(1-\dfrac{1}{ab}\right)+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4ab}\left(1-\dfrac{1}{ab}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(1-\dfrac{1}{ab}\right)\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4ab}\right)=0\)

\(\Rightarrow1-\dfrac{1}{ab}=0\Rightarrow ab=1\)

\(\Rightarrow\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)

\(\Rightarrow x+y=0\Rightarrow y=-x\)

\(P=2\left(x^2+\left(-x\right)^2\right)+0=4x^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=0\)

Thay `x=\sqrt{3}` và `y=-1` vào `A`, ta được:

\(A=\left(\sqrt{3}\right)^2-\left|\left(\sqrt{3}\right)^2-\left(-1\right)\right|+2023\)

\(A=3-\left|3+1\right|+2023\)

\(A=3-4+2023\) ( vì `3+1>0` )

\(A=2022\)

Tại \(x=\sqrt{3};y=-1\) giá trị của biểu thức là:

\(A=\sqrt{3}^2-\left|\sqrt{3}^2-\left(-1\right)^2\right|+2023=3-\left|3+1\right|+2023=3-4+2023=2022\)

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

$x^2-2mx-(2m+1)=0(*)$

Để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm pb có hoành độ $x_1,x_2$ thì PT $(*)$ phải có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$

$\Leftrightarrow \Delta'=m^2+2m+1>0\Leftrightarrow (m+1)^2>0$

$\Leftrightarrow m\neq -1$
Áp dụng định lý Viet: $x_1+x_2=2m; x_1x_2=-(2m+1)$

Khi đó:

$\sqrt{x_1+x_2}+\sqrt{3+x_1x_2}=2m+1$

$\Leftrightarrow \sqrt{2m}+\sqrt{3-2m-1}=2m+1$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq m< 1\\ \sqrt{2m}+\sqrt{2(1-m)}=2m+1\end{matrix}\right.\)

Bình phương 2 vế dễ dàng giải ra $m=\frac{1}{2}$ (thỏa)

Tớ thấy Tuấn Khải toàn nói linh tinh chứ có giải toán đâu !!!

Linh Tinh !

Lớp 1 chưa học cái này

Ta có 1 + x² = xy + yz + xz + x² = (xy + x²) + (yz + xz) = (x + y)(x + z)

=> \(1x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{\left(1+x^2\right)}}=\:x\sqrt{\frac{\left(y+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=\:x\left|y+z\right|\)

Tương tự như vậy thì ta có 

A = xy + xz + yx + yz + zx + zy = 2

đây nhé Xem câu hỏi