Bài 6: Ôn tập chương Đạo hàm

" Tìm k để có 2 tiếp tuyến của đồ thị có cùng hệ số góc k"

Đọc câu này mà não load không nổi luôn :D

Đọc đi đọc lại không hiểu đề bài muốn nói đến điều gì

\(f\left(3\right)=\dfrac{3}{2}\) ; \(f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{6}{5}\) ; \(f'\left(x\right)=\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}\Rightarrow f'\left(3\right)=\dfrac{1}{10}\) ; \(f'\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{4}{25}\)

\(g\left(3\right)=f\left(f\left(3\right)\right)=f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{6}{5}\)

\(g'\left(x\right)=f'\left(f\left(x\right)\right).f'\left(x\right)\Rightarrow g'\left(3\right)=f'\left(f\left(3\right)\right).f'\left(3\right)=f'\left(\dfrac{3}{2}\right).\dfrac{1}{10}=\dfrac{2}{125}\)

Tiếp tuyến:

\(y=\dfrac{2}{125}\left(x-3\right)+\dfrac{6}{5}\)

Hoặc đơn giản nhất là tìm thẳng hàm g(x) ra \(g\left(x\right)=\dfrac{2\left(\dfrac{2x}{x+1}\right)}{\dfrac{2x}{x+1}+1}\) rút gọn rồi viết pttt

Trước hết chúng ta cần nói sơ đến định lý Viet cho pt bậc 3:

Pt bậc 3 có dạng \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) có 3 nghiệm \(x_1;x_2;x_3\) thì:

\(x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}\)

Giả sử tọa độ B có dạng \(B\left(x_B;y_B\right)\)  và pt đường thẳng d qua B có dạng: 

\(y=ax+b\)

Pt hoành độ giao điểm d và (C):

\(x^3-3x^2+2=ax+b\)

\(\Leftrightarrow x^3-3x^2-ax+2-b=0\) (1)

Do d tiếp xúc (C) tại A (có hoành độ giao điểm là hoành độ của A bằng \(x_0\)) và cắt (C) tại B (có hoành độ giao điểm là hoành độ của B) nên \(x_0\) là nghiệm kép và \(x_B\) là nghiệm đơn của (1)

Hay nói cách khác, \(x_0;x_0;x_B\) là 3 nghiệm của (1)

Theo hệ thức Viet: \(x_0+x_0+x_B=3\Leftrightarrow x_B=3-2x_0\)

\(B\in\left(C\right)\Rightarrow y_B=\left(3-x_0\right)^3-3\left(3-x_0\right)^2+2=-x_0^3+6x_0^2-9x_0+2\)

Vậy tọa độ B có dạng: \(B\left(3-x_0;-x_0^3+6x_0^2-9x_0+2\right)\)

Câu 39:

Ta có: \(y'=\dfrac{-2-m}{\left(x-2\right)^2}\)

Phương trình đường thẳng d qua A có dạng: \(y=k\left(x-1\right)+2\)

Để d tiếp xúc (C) \(\Leftrightarrow\dfrac{x+m}{x-2}=k\left(x-1\right)+2\) có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow kx^2-\left(3k-1\right)x+2k-m-4=0\)

\(\Delta=\left(3k-1\right)^2-4k\left(2k-m-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow k^2+2k\left(2m+5\right)+1=0\) (1)

Để có 2 tiếp tuyến thì (1) có 2 nghiệm pb \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(2m+5\right)^2-1>0\)

Khi đó theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}k_1+k_2=-2\left(2m+5\right)\\k_1k_2=1\end{matrix}\right.\)

Mặt khác tam giác ABC đều \(\Rightarrow\left(AB;AC\right)=60^0\)

\(\Leftrightarrow tan60^0=\left|\dfrac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|=\left|\dfrac{k_1-k_2}{2}\right|\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|k_1-k_2\right|=2\sqrt{3}\\k_1+k_2=-2\left(2m+5\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(k_1+k_2\right)^2-4k_1k_2=12\\k_1+k_2=-2\left(2m+5\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow4\left(2m+5\right)^2-4=12\)

\(\Leftrightarrow...\)

\(y'=\dfrac{1}{2}x^3-\dfrac{7}{2}x\)

Chỉ cần để ý 1 lý thuyết:

Đường thẳng đi qua 2 điểm \(A\left(x_1;y_1\right)\) và \(B\left(x_2;y_2\right)\) sẽ có hệ số góc \(k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)

Do đó ta có hệ số góc của đường thẳng MN là \(k=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}x^3-\dfrac{7}{2}x=3\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=-1\\x=3\end{matrix}\right.\) (sao lắm nghiệm vậy trời)

Biết hoành độ 3 tiếp điểm, bạn viết 3 pt tiếp tuyến rồi xét pt hoành độ với (C) coi cái nào có 4 nghiệm (trong đó có 1 nghiệm kép) thì nhận

\(\left[\left(x+2\right)^n\right]'=n\left(x+2\right)^{n-1}=\dfrac{n!}{\left(n-1\right)!}.\left(x+2\right)^{n-1}\)

\(\left[\left(x+2\right)^n\right]''=\left(n-1\right)n\left(x+2\right)^{n-2}=\dfrac{n!}{\left(n-2\right)!}\left(x+2\right)^{n-2}\)

Từ đó ta dễ dàng quy nạp được:

\(\left[\left(x+2\right)^n\right]^{\left(k\right)}=\dfrac{n!}{\left(n-k\right)!}\left(x+2\right)^{n-k}\)

Áp vào bài: \(y^{\left(9\right)}\left(0\right)=\dfrac{2019!}{\left(2019-9\right)!}.\left(0+2\right)^{2019-9}=\dfrac{2019!}{2010!}.2^{2010}\)

y' =4X^(3)-2X

vuông góc =>f'(X0)=-1(-1/a;a=1)

=> 4x^(3) +2X+1=0(f'(X0)=-1)

X=sqrt(2)/2

x=-sqrt(2)/2

x=0

<=>

y 0=(thế 3 cái X trên vào f'(X0))=>3 cái y 0 đấy

y=(thế 3 cái X trên vào y )=> y

rồi bỏ vào công thức y=f'(x0)(X-X0)+Y0

tốn pin tốn..........

tự tính

sai thì thôi....!

do tiếp tuyến vuông góc với pt đt d= x+2y-3 <=>

y= \(\dfrac{3-x}{2}\)

nên pttt có hsg k= 2

y' = 4x³-2x

ta có: 4x³-2x = 2

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\4x^2+4x+2=0\end{matrix}\right.\) (vn)

=> y = 3

vậy pttt: y = 2(x-1)+3

<=> y = 2x +1

(-9^(10);0)___(2)_______=____(1)__(-4.23911584x10^(29);100)(1)

(1)từ âm đến dương chắc 1 điều có qua số 0

(2) từ -9^(10) đến 0 là số âm

(3)= có ít nhất 1 nghiệm âm

(1)+(2)=(3)

swo

xét hàm số f(x)=x³-10x²+100 liên tục trên R

ta có: f(0) =100

f(-4)= (-4)³-10(-4)²+100= -124

=> f(0).f(-4) <0 => pt luôn có 1 nghiệm nằm trong khoảng (-4,0)

vậy pt có ít nhất 1 nghiệm âm

\(f'\left(x\right)=cosx\)

\(f''\left(x\right)=-sinx\)

\(f^{\left(3\right)}\left(x\right)=-cosx\)

\(f^{\left(4\right)}\left(x\right)=sinx\)

Từ đó ta thấy được:

\(f^{\left(4k\right)}\left(x\right)=sinx\)

\(f^{\left(4k+1\right)}\left(x\right)=cosx\)

\(f^{\left(4k+2\right)}\left(x\right)=-sinx\)

\(f^{\left(4k+3\right)}\left(x\right)=-cosx\)

\(\Rightarrow f^{\left(4k\right)}\left(x\right)+f^{\left(4k+1\right)}\left(x\right)+f^{\left(4k+2\right)}\left(x\right)+f^{\left(4k+3\right)}\left(x\right)=0\)

\(\Rightarrow S=f^{\left(2017\right)}\left(x\right)+f^{\left(2018\right)}\left(x\right)+f^{\left(2019\right)}\left(x\right)\)

(Toàn bộ phần tổng đằng trước nhóm thành các cụm 4 số và triệt tiêu)

\(S=f^{\left(4.504+1\right)}\left(x\right)+f^{\left(4.504+2\right)}\left(x\right)+f^{\left(4.504+3\right)}\left(x\right)\)

\(=cosx-sinx-cosx=-cosx\)

Câu 35. Do cần tính giá trị \(g\left(1\right)\) nên chỉ cần xét khi \(x>0\)

Giả thiết\(\Rightarrow f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2x}f\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{x}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}.f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}f\left(x\right)=-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{2}{x\sqrt{x}}\)

\(\Leftrightarrow\left[\dfrac{1}{\sqrt{x}}.f\left(x\right)\right]'=-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{2}{x\sqrt{x}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}=-\sqrt{x}+\dfrac{4}{\sqrt{x}}+C\)

Thay \(x=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5}{1}=-1+4+C\Rightarrow C=2\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=-x+4+2\sqrt{x}\)

Kì vậy ta, kết quả này thì \(g'\left(1\right)=\dfrac{1}{25}\) không có đáp án nào hết.

Mặc dù thay hàm \(f\left(x\right)\) vào điều kiện đề bài thỏa mãn