Trước hết chúng ta cần nói sơ đến định lý Viet cho pt bậc 3:
Pt bậc 3 có dạng \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) có 3 nghiệm \(x_1;x_2;x_3\) thì:
\(x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}\)
Giả sử tọa độ B có dạng \(B\left(x_B;y_B\right)\) và pt đường thẳng d qua B có dạng:
\(y=ax+b\)
Pt hoành độ giao điểm d và (C):
\(x^3-3x^2+2=ax+b\)
\(\Leftrightarrow x^3-3x^2-ax+2-b=0\) (1)
Do d tiếp xúc (C) tại A (có hoành độ giao điểm là hoành độ của A bằng \(x_0\)) và cắt (C) tại B (có hoành độ giao điểm là hoành độ của B) nên \(x_0\) là nghiệm kép và \(x_B\) là nghiệm đơn của (1)
Hay nói cách khác, \(x_0;x_0;x_B\) là 3 nghiệm của (1)
Theo hệ thức Viet: \(x_0+x_0+x_B=3\Leftrightarrow x_B=3-2x_0\)
\(B\in\left(C\right)\Rightarrow y_B=\left(3-x_0\right)^3-3\left(3-x_0\right)^2+2=-x_0^3+6x_0^2-9x_0+2\)
Vậy tọa độ B có dạng: \(B\left(3-x_0;-x_0^3+6x_0^2-9x_0+2\right)\)
Câu 39:
Ta có: \(y'=\dfrac{-2-m}{\left(x-2\right)^2}\)
Phương trình đường thẳng d qua A có dạng: \(y=k\left(x-1\right)+2\)
Để d tiếp xúc (C) \(\Leftrightarrow\dfrac{x+m}{x-2}=k\left(x-1\right)+2\) có nghiệm kép
\(\Leftrightarrow kx^2-\left(3k-1\right)x+2k-m-4=0\)
\(\Delta=\left(3k-1\right)^2-4k\left(2k-m-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow k^2+2k\left(2m+5\right)+1=0\) (1)
Để có 2 tiếp tuyến thì (1) có 2 nghiệm pb \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(2m+5\right)^2-1>0\)
Khi đó theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}k_1+k_2=-2\left(2m+5\right)\\k_1k_2=1\end{matrix}\right.\)
Mặt khác tam giác ABC đều \(\Rightarrow\left(AB;AC\right)=60^0\)
\(\Leftrightarrow tan60^0=\left|\dfrac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|=\left|\dfrac{k_1-k_2}{2}\right|\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|k_1-k_2\right|=2\sqrt{3}\\k_1+k_2=-2\left(2m+5\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(k_1+k_2\right)^2-4k_1k_2=12\\k_1+k_2=-2\left(2m+5\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow4\left(2m+5\right)^2-4=12\)
\(\Leftrightarrow...\)
Câu 40.
Xét khai triển:
\(\left(2+x\right)^{2020}=C_{2020}^02^{2020}+C_{2020}^12^{2019}.x+C_{2020}^22^{2018}.x^2+...+C_{2020}^{2020}x^{2020}\)
Đạo hàm 2 vế:
\(2020\left(2+x\right)^{2019}=C_{2020}^1.2^{2019}+2C_{2020}^22^{2018}x+...+2020C_{2020}^{2020}x^{2019}\)
Nhân x vào 2 vế:
\(2020x\left(2+x\right)^{2019}=C_{2020}^12^{2019}.x+2C_{2020}^2.2^{2018}x^2+...+2020C_{2020}^{2020}x^{2020}\)
Tiếp tục đạo hàm 2 vế:
\(2020\left(2+x\right)^{2019}+2019.2020x\left(2+x\right)^{2018}=C_{2019}^12^{2019}+2^2C_{2020}^22^{2018}x+...+2020^2C_{2020}^{2020}x^{2019}\)
Cho \(x=1\) ta được:
\(2020.3^{2019}+2019.2020.3^{2018}=S\)
\(\Leftrightarrow S=2020.3^{2018}\left(3+2019\right)=2020.2022.3^{2018}\)
