1.

\(P=\frac{a^4}{abc}+\frac{b^4}{abc}+\frac{c^4}{abc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3abc}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}{3abc\left(a+b+c\right)}\)

\(P\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right).3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}}{3abc\left(a+b+c\right)}=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)

Dấu "=" khi \(a=b=c\)

2.

\(P=\sum\frac{a^2}{ab+2ac+3ad}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4.\frac{3}{8}\left(a+b+c+d\right)^2}=\frac{2}{3}\)

Dấu "=" khi \(a=b=c=d\)

Thục Trinh, tran nguyen bao quan, Phùng Tuệ Minh, Ribi Nkok Ngok, Lê Nguyễn Ngọc Nhi, Tạ Thị Diễm Quỳnh,

Nguyễn Huy Thắng, ?Amanda?, saint suppapong udomkaewkanjana

Help me!

Bài thứ hai đó áp dụng bđt cauchy showas là ra rồi sử dụng tch bắc cầu tệ.

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:

\((2a^2+b^2)(2a^2+c^2)=(a^2+a^2+b^2)(a^2+c^2+a^2)\geq (a^2+ac+ab)^2\)

\(=[a(a+b+c)]^2\)

\(\Rightarrow \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a^3}{[a(a+b+c)]^2}=\frac{a}{(a+b+c)^2}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:

\(\sum \frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\leq \frac{a+b+c}{(a+b+c)^2}=\frac{1}{a+b+c}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Dảnh àk =))

Cứ đăng đi - úng hộ ^^

Áp dụng bđt Cauchy-schwarz dạng engel ta có:

1. \(\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{b+2c}+\frac{c^2}{c+2a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+2b\right)+\left(b+2c\right)+\left(c+2a\right)}=\frac{a+b+c}{3}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\frac{a}{a+2b}=\frac{b}{b+2c}=\frac{c}{c+2a}\Leftrightarrow a=b=c\)

2. \(\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(2a+3b\right)+\left(2b+3c\right)+\left(2c+3a\right)}=\frac{a+b+c}{5}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Ta có \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\ge\frac{3}{a^2b}\)

\(\frac{1}{b^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\ge\frac{3}{b^2c}\)

..............................

=> \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\ge\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{b^2c}+\frac{1}{c^2d}+\frac{1}{d^2a}\left(1\right)\)

Áp dụng bđt cosi ta có

\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^2b}\ge\frac{2}{b^3}\)

\(\frac{b^2}{c^5}+\frac{1}{b^2c}\ge\frac{2}{c^3}\)

\(\frac{c^2}{d^5}+\frac{1}{c^2d}\ge\frac{2}{d^3}\)

\(\frac{d^2}{a^5}+\frac{1}{d^2a}\ge\frac{2}{a^3}\)

Cộng vế của các bđt trên và kết hợp với (1)

=> ĐPCM

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\text{VT}=\frac{a^4}{a^2+2ab}+\frac{b^4}{b^2+2bc}+\frac{c^4}{c^2+2ac}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ac}\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)^2}\) (1)

Theo hệ quả của BĐT AM-GM thì ta có:

\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\) (2)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c>0\)

Cái phân thức đầu tiên ở vế trái viết sai thì phải (ở cái tử phải là b²c chứ!).

Xét vế trái: Bạn nhân cả tử và mẫu với lần lượt là b^2.c^2; c^2.a^2; a^2.b^2

=> cái mẫu thành lần lượt là a(b+c); b(c+a); c(a+b) do abc=1=> a^2.b^2.c^2=1 và tử lần lượt là b^2.c^2; c^2.a^2; a^2.b^2

xong áp dụng cauchy schwarz thôi => vế trái >= (ab+bc+ca)^2/2(ab+bc+ca)=(ab+bc+ca)/2=(ab+bc+ca)/2abc=1/2a+1/2b+1/2c

=> ĐPCM.

\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(a+c\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{a^2c^2}{b\left(a+c\right)}+\frac{a^2b^2}{c\left(a+b\right)}\)

\(\ge\frac{\left(bc+ac+ab\right)^2}{2\left(ab+ac+bc\right)}\ge\frac{\left(bc+ac+ab\right)}{2}\)

\(=\frac{bc}{2}+\frac{ac}{2}+\frac{ab}{2}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a =b = c.