\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x-y=y-z=z-x=0\)\(\Rightarrow x=y=z\)

\(\Rightarrow x^{2010}+y^{2010}+z^{2010}=3x^{2010}=3^{2010}\)

\(\Rightarrow x^{2010}=\dfrac{3^{2010}}{3}=3^{2009}\Rightarrow x=\sqrt[2010]{3^{2009}}\)

\(\Rightarrow x=y=z=\sqrt[2010]{3^{2009}}\)

Lời giải:

PT (1)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-(xy+yz+xz)=0\)

\(\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)

Thấy rằng \((x-y)^2; (y-z)^2; (z-x)^2\geq 0\forall x,y,z\in\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (x-y)^2=0\\ (y-z)^2=0\\ (z-x)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z\)

Thay vào PT (2)

\(\Leftrightarrow x^{2010}+x^{2010}+x^{2010}=3^{2010}\)

\(\Leftrightarrow 3.x^{2010}=3^{2010}\Leftrightarrow x^{2010}=3^{2009}\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt[2010]{3^{2009}}\)

Vậy \((x,y,z)=(\sqrt[2010]{3^{2009}},\sqrt[2010]{3^{2009}},\sqrt[2010]{3^{2009}})\)

mk nghĩ đề là \(x^{2009}+y^{2009}+z^{2009}=3^{2010}\)

do vai trò của x, y, z là như nhau nên ta giả sử x>y>z
=>\(2x^{2010}>2y^{2010}\)
=>\(y^6+z^6>z^6+x^6\Leftrightarrow y^6>x^6\) ,mà thím này mâu thuẫn với giả sử => điều giả sử sai
=> x=y=z
ngang đây thì dễ oy nha bn :)

Từ giả thiết ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=0\) hoặc \(y+z=0\) hoặc \(z+x=0\)

+) Nếu x + y = 0 hoặc z + x = 0 thì ta không tính được giá trị biểu thức.

+) Nếu y + z = 0 thì \(y=-z\Leftrightarrow y^{2017}=-z^{2017}\Leftrightarrow y^{2017}+z^{2017}=0\)

Suy ra \(\left(x^{2016}+y^{2016}\right)\left(y^{2017}+z^{2017}\right)\left(x^{2018}+z^{2018}\right)=0\)

Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=0\) hoặc \(y+z=0\) hoặc \(z+x=0\)

Tới đây bạn tự làm được rồi ^^

thank you

bạn có thể làm nữa đươc ko

giúp mình với

Ta có: x² + y² + z² = xy + yz + zx

<=> [(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²] . 1/2 = 0

<=> x = y = z

Thay vào pt thứ 2...

\(\dfrac{x}{2018}=\dfrac{y}{2019}=\dfrac{x-y}{-1};\dfrac{y}{2019}=\dfrac{z}{2020}=\dfrac{y-z}{-1};\dfrac{x}{2018}=\dfrac{z}{2020}=\dfrac{x-z}{-2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{x-y}{-1}=\dfrac{y-z}{-1}=\dfrac{x-z}{-2}\\ \Leftrightarrow2\left(x-y\right)=2\left(y-z\right)=x-z\\ \Leftrightarrow\left(x-z\right)^3=8\left(x-y\right)^3=8\left(x-y\right)^2\left(x-y\right)=8\left(x-y\right)^2\left(y-z\right)\)

Ko thể dùng 1 trường hợp cụ thể để chứng minh dạng tổng quát.

Cách chứng minh bài này rất đơn giản:

\(a< b\Rightarrow2019a< 2019b\)

\(\Rightarrow-2019a>-2019b\)

\(\Rightarrow-2019a+2020>-2019b+2020>-2019b+2018\)

Vậy \(2020-2019a>2018-2019b\)