@alibaba nguyễn : Giúp với ông ei :) Chắc ông cũng học đến cái này r :))

Câu 1/

\(f\left(13\right)=x^{13}\left(x-14\right)+14x^{12}-...-14x+14\)

\(=-x^{13}+14x^{12}-14x^{11}+...-14x+14\)

\(=x^{12}\left(-x+14\right)-14x^{11}+...-14x+14\)

\(=x^{12}-14x^{11}+...-14x+14=...\)

\(=-x+14=1\)

(Bạn để ý quy luật sau các bước rút gọn lần lượt thì mũ chẵn sẽ biến thành hệ số 1, mũ lẻ thành hệ số -1 nên x sẽ có hệ số -1)

Câu 2:

+) \(f\left(-x\right)=f\left(x\right)\) có: \(f_3\left(x\right);f_4\left(x\right);f_6\left(x\right)\)

+) \(f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\) có: \(f_1\left(x\right);f_2\left(x\right);f_5\left(x\right)\)

+) \(f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\) có: \(f_1\left(x\right);f_2\left(x\right)\)

+) \(f\left(x_1x_2\right)=f\left(x_1\right).f\left(x_2\right)\) có: \(f_1\left(x\right);f_3\left(x\right);f_5\left(x\right);f_6\left(x\right)\)

Vẫn là đạo hàm của tích

Dễ dàng viết được:

\(\left[f'\left(x\right)\right]^2+f\left(x\right).f''\left(x\right)=\left[f\left(x\right)\right]'.f'\left(x\right)+f\left(x\right).\left[f'\left(x\right)\right]'=\left[f'\left(x\right).f\left(x\right)\right]'\)

Do đó giả thiết biến đổi thành:

\(\left[f'\left(x\right).f\left(x\right)\right]'=15x^4+12x\)

Nguyên hàm 2 vế:

\(f'\left(x\right).f\left(x\right)=\int\left(15x^4+12x\right)dx=3x^5+6x^2+C\)

Thay \(x=0\)

\(\Rightarrow f'\left(0\right).f\left(0\right)=C\Rightarrow C=1\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right).f\left(x\right)=3x^5+6x^2+1\)

Tiếp tục nguyên hàm 2 vế:

\(\int f\left(x\right).f'\left(x\right)dx=\int\left(3x^5+6x^2+1\right)dx\) với chú ý \(\int f\left(x\right).f'\left(x\right)dx=\int f\left(x\right).d\left[f\left(x\right)\right]=\dfrac{1}{2}f^2\left(x\right)+C\)

Nên:

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}f^2\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^6+2x^3+x+C\)

Thay \(x=0\Rightarrow C=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}f^2\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^6+2x^3+x+\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow f^2\left(1\right)\)

\(f'\left(x\right)=-4x^3\left(f\left(x\right)\right)^2\Leftrightarrow-\dfrac{f'\left(x\right)}{\left(f\left(x\right)\right)^2}=4x^3\)

Lấy nguyên hàm hai vế

\(\int-\dfrac{f'\left(x\right)}{\left(f\left(x\right)\right)^2}dx=\int4x^3dx\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{f\left(x\right)}=x^4+c\)

Thay x=0 vào tìm được c=1 \(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^4+1}\)

\(I=\int\limits^1_0\dfrac{x^3}{x^4+1}dx=\dfrac{1}{4}\int\limits^1_0\dfrac{\left(x^4+1\right)'}{x^4+1}dx=\dfrac{ln2}{4}\)

Chọn D

Bài 1:

Cho $y=0$ thì: $f(x^3)=xf(x^2)$

Tương tự khi cho $x=0$

$\Rightarrow f(x^3-y^3)=xf(x^2)-yf(y^2)=f(x^3)-f(y^3)$

$\Rightarrow f(x-y)=f(x)-f(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$

Cho $x=0$ thì $f(-y)=0-f(y)=-f(y)$

Cho $y\to -y$ thì: $f(x+y)=f(x)-f(-y)=f(x)--f(y)=f(x)+f(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$

Đến đây ta có:

$f[(x+1)^3+(x-1)^3]=f(2x^3+6x)=f(2x^3)+f(6x)$
$=2f(x^3)+6f(x)=2xf(x^2)+6f(x)$

$f[(x+1)^3+(x-1)^3]=f[(x+1)^3-(1-x)^3]$

$=(x+1)f((x+1)^2)-(1-x)f((1-x)^2)$

$=(x+1)f(x^2+2x+1)+(x-1)f(x^2-2x+1)$

$=(x+1)[f(x^2)+2f(x)+f(1)]+(x-1)[f(x^2)-2f(x)+f(1)]$

$=2xf(x^2)+4f(x)+2xf(1)$

Do đó:

$2xf(x^2)+6f(x)=2xf(x^2)+4f(x)+2xf(1)$

$2f(x)=2xf(1)$

$f(x)=xf(1)=ax$ với $a=f(1)$

\(f\left(x^5+y^5+y\right)=x^3f\left(x^2\right)+y^3f\left(y^2\right)+f\left(y\right)\)

Sửa lại đề câu 2 !!

\(f\left( { - 3} \right) =  - {\left( { - 3} \right)^2} + 1 =  - 9 + 1 =  - 8\);

\(f\left( { - 2} \right) =  - {\left( { - 2} \right)^2} + 1 =  - 4 + 1 =  - 3\);

\(f\left( { - 1} \right) =  - {\left( { - 1} \right)^2} + 1 =  - 1 + 1 = 0\);

\(f\left( 0 \right) =  - {0^2} + 1 = 0 + 1 = 1\);

\(f\left( 1 \right) =  - {1^2} + 1 =  - 1 + 1 = 0\);

\(f\left( { - 3} \right) = {\left( { - 3} \right)^2} + 4 = 9 + 4 = 13\);

\(f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^2} + 4 = 4 + 4 = 8\);

\(f\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} + 4 = 1 + 4 = 5\);

\(f\left( 0 \right) = {0^2} + 4 = 0 + 4 = 4\);

\(f\left( 1 \right) = {1^2} + 4 = 1 + 4 = 5\).