a) Ta có: \(\Delta=\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m-10\right)\)

\(=1+4\left(2m+10\right)\)

\(=8m+41\)

Để phương trình (1) có nghiệm thì \(8m+41\ge0\)

hay \(m\ge-\dfrac{41}{8}\)

a, Bạn tự vẽ

b, PT hoành độ giao điểm (d₁) và (d₃) là 

\(x=-x+3\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow y=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow A\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)\Leftrightarrow OA=\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}-0\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}-0\right)^2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

PT hoành độ giao điểm (d₂) và (d₃) là 

\(2x=-x+3\Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow y=2\Leftrightarrow B\left(1;2\right)\Leftrightarrow OB=\sqrt{\left(1-0\right)^2+\left(2-0\right)^2}=\sqrt{5}\)

Ta có \(AB=\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}-1\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}-2\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Ta có \(OA^2+AB^2=\dfrac{9}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{10}{2}=5=OB^2\) nên tg OAB vuông tại A

Do đó \(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot AB=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3}{4}\left(đvdt\right)\)

a: Thay m=1 vào pt, ta được:

\(x^2-1=0\)

=>(x-1)(x+1)=0

=>x=1 hoặc x=-1

b: \(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4\cdot\left(-m\right)\)

\(=4m^2-8m+4+4m\)

\(=4m^2-4m+4\)

\(=4\left(m^2-m+1\right)\)

\(=4m^2-4m+1+3=\left(2m-1\right)^2+3>0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Ta có: \(2\left(x_1+x_2\right)-3x_1x_2+9=0\)

\(\Leftrightarrow2\cdot\left[-2\left(m-1\right)\right]-3\cdot\left(-m\right)+9=0\)

\(\Leftrightarrow-4\left(m-1\right)+3m+9=0\)

=>-4m+4+3m+9=0

=>13-m=0

hay m=13

a, Thay m = 1 ta được 

\(x^2-1=0\Leftrightarrow x=1;x=-1\)

b, 

Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-m\end{matrix}\right.\)

\(-4\left(m-1\right)+3m+9=0\Leftrightarrow-m+13=0\Leftrightarrow m=13\)

a) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\)lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;3} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 2} \right)\)

Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 3.( - 2)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} \approx 0,93 \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \approx 22^\circ 8'\)

b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\)lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {4; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2; - 1} \right)\)

Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {4.2 + ( - 2).( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 1 \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 0^\circ \)

c) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\)lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;2} \right)\)

Ta có \({a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 2.1 + ( - 1).2 = 0\)

Suy ra \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 90^\circ \)

a.

Phương trình có 2 nghiệm dương pb khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+2\ne0\\\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m+2\right)\left(m-4\right)>0\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+1\right)}{m+2}>0\\x_1x_2=\dfrac{m-4}{m+2}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-2\\4m+9>0\\\dfrac{m+1}{m+2}>0\\\dfrac{m-4}{m+2}>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-2\\m>-\dfrac{9}{4}\\\left[{}\begin{matrix}m>-1\\m< -2\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}m>4\\m< -2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>4\\-\dfrac{9}{4}< m< -2\end{matrix}\right.\)

b.

Pt có 2 nghiệm khi: \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne-2\\\Delta'=4m+9\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-2\\m\ge-\dfrac{9}{4}\end{matrix}\right.\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+1\right)}{m+2}\\x_1x_2=\dfrac{m-4}{m+2}\end{matrix}\right.\)

\(3\left(x_1+x_2\right)=5x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{6\left(m+1\right)}{m+2}=\dfrac{5\left(m-4\right)}{m+2}\)

\(\Rightarrow6\left(m+1\right)=5\left(m-4\right)\)

\(\Leftrightarrow m=-26< -\dfrac{9}{4}\left(loại\right)\)

Vậy ko tồn tại m thỏa mãn yêu cầu 

a) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng  \({\Delta _1};{\Delta _2}\)là nghiệm  của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 x + y - 4 = 0\\x + \sqrt 3 y - 2\sqrt 3  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 3 \\y = 1\end{array} \right.\)

b)  Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = {30^o}\)

Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1};{\Delta _2}\) là \({30^o}\).

Lời giải:

Ta có:

\(f(x)=-5x\Rightarrow \left\{\begin{matrix} f(x_1)=-5x_1\\ f(x_2)=-5x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f(x_1)-f(x_2)=-5x_1-(-5)x_2=-5(x_1-x_2)=5(x_2-x_1)\)

Do \(x_2> x_1\Rightarrow 5(x_2-x_1)>0\Leftrightarrow f(x_1)-f(x_2)>0 \)

\(\Leftrightarrow f(x_1)> f(x_2)\) (đpcm)

b)

\(\left\{\begin{matrix} f(x_1)=-5x_1\\ f(x_2)=-5x_2\rightarrow 4f(x_2)=-20x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow f(x_1)+4f(x_2)=-5x_1+(-20)x_2=-5x_1-20x_2\) (1)

Lại có:

\(f(x)=-5x\rightarrow f(x_1+4x_2)=-5(x_1+4x_2)=-5x_1-20x_2\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(f(x_1+4x_2)=f(x_1)+4f(x_2)\)

c)

\(f(x)=-5x\Rightarrow -f(x)=-(-5x)=5x\)

\(f(x)=-5x\Rightarrow f(-x)=-5(-x)=5x\)

Do đó: \(-f(x)=f(-x)\)