a) \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}< 0\Leftrightarrow\dfrac{ad-bc}{bd}< 0\)\(\Leftrightarrow ad-bc< 0\) ( do bc>0) \(\Leftrightarrow ad< bc\) (đpcm)

b) \(ad< bc\) \(\Leftrightarrow\dfrac{ad}{bd}< \dfrac{bc}{bd}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\)(đpcm)

Giải:
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\dfrac{3a^2+c^2}{3b^2+d^2}=\dfrac{3b^2k^2+d^2k^2}{3b^2+d^2}=\dfrac{k^2\left(3b^2+d^2\right)}{3b^2+d^2}=k^2\) (1)

\(\dfrac{\left(a+c\right)^2}{\left(b+d\right)^2}=\dfrac{\left(bk+dk\right)^2}{\left(b+d\right)^2}=\dfrac{\left[k\left(b+d\right)\right]^2}{\left(b+d\right)^2}=\dfrac{k^2.\left(b+d\right)^2}{\left(b+d\right)^2}=k^2\) (2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow\dfrac{3a^2+c^2}{3b^2+d^2}=\dfrac{\left(a+c\right)^2}{\left(b+d\right)^2}\left(đpcm\right)\)

Vậy...

Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E.

Dễ thấy tam giác AED vuông cân tại E nên \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}=AE=ED\).

Theo định lý Thales ta có: \(\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{CE}{CA}=1-\dfrac{AE}{CA}=1-\dfrac{DE}{CA}\Rightarrow\dfrac{1}{DE}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\Rightarrow\dfrac{\sqrt{2}}{AD}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}\).

Vậy ta có đpcm.

Bài này mình làm rồi mà bạn

Cho \(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{ab}{cd}\) với ( với a, b, c, d khác 0, và c \(\ne\pm d\) ). Chứng minh rằng hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{c}\) ?

Tham khảo:Chứng minh a/b=c/d hoặc a/b=d/c biết (a^2+b^2)/(c^2+d^2)=ab/cd - An Nhiên

\(\text{Cho }\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{c}\text{ và }b,d\notin0\text{.CMR:}\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

\(\text{Ta có:}\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)

\(\text{Lại có:}\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{bk.dk}{bd}=\dfrac{\left(bd\right).k^2}{bd}=k^2\)

\(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}=\dfrac{b^2.k^2+d^2.k^2}{b^2+d^2}=\dfrac{\left(b^2+d^2\right).k^2}{b^2+d^2}=k^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

1. Ta có: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{ab}{cd},\dfrac{c}{d}=\dfrac{bc}{bd}\)

a) Mẫu chung bd > 0 ( do b > 0, d > 0 ) nên nếu \(\dfrac{ad}{bd}< \dfrac{bc}{bd}\) thì ad < bc

b) Ngược lại, Nếu ad < bc thì \(\dfrac{ad}{bd}< \dfrac{bc}{bd}.\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\)

Ta có thể viết: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\Leftrightarrow ad< bc\)

2. a) Ta có: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\) ( 1 )

Thêm ab vào 2 vế của (1): \(ad+ab< bc+ab\)

\(a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\) ( 2 )

Thêm cd vào 2 vế của (1): \(ad+cd< bc+cd\)

\(d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\Rightarrow\dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\) ( 3 )

Từ (2) và (3) ta có: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\)

1.

a) Ta có: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\dfrac{ad}{bd}< \dfrac{bc}{bd}\)

\(\Rightarrow ad< bc\left(đpcm\right)\)

Vậy ad < bc