a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xet ΔNAB có

AC.BM là các đường cao

AC cắt BM tại E

Do đó: E là trực tâm

=>NE vuông góc với AB

b: Xét tứ giác NEAF có

M là trung điểm chung của NA và EF

nên NEAF là hình bình hành

=>NE//AF

=>AF vuông góc với AB

=>FA là tiêp tuyến của (O)

Ta có: MA = MN (tính chất đối xứng tâm)

ME = MF (tính chất đối xứng tâm)

Tứ giác AENF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành

Suy ra: AF // NE

Mà NE ⊥ AB (chứng minh trên)

Suy ra: AF ⊥ AB tại A

Vậy FA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bạn tự vẽ hình nha ;)

a) Xét đg tròn (O), đg kính AB có:

\(\left\{\begin{matrix}C\in\left(O\right)\\M\in\left(O\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\Delta ABC\\\Delta ABM\end{matrix}\right.vuông \Rightarrow\left\{\begin{matrix}AC\perp BN\\BM\perp AN\end{matrix}\right.\)

Xét \(\Delta ABN\) có: \(\left\{\begin{matrix}AC\perp BN\\BM\perp AN\end{matrix}\right.\)(c/m trên)

Mà AC và BN cắt nhau tại E

=> \(NE\perp AB\)

b) Gọi giao điểm của NE và AB là I => \(NI\perp AB\)

Xét tứ giác AENF có: AN cắt EF tại M

Mà M là trung điểm của AN( A đx với N qua M)

M là trung điểm của EF(E đx với F qua M)

=> AENF là hình bình hành( Tứ giác có 2 đ/c cắt nhau tại trung điểm của mỗi đg là hình bình hành) => AF // EN => \(\widehat{NAF}=\widehat{ANI}\) (1) ( 2 góc so le trong)

Xét \(\Delta ANI\) vuông tại I( NI\(\perp AB\)) có: \(\widehat{ANI}+\widehat{NAI}=90^o\) (2) ( 2 góc nhọn phụ nhau)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{NAF}+\widehat{NAI}=90^o\) => \(\widehat{OAF}=90^o\) => OA\(\perp\)FAtại A

Xét đg tròn(O; OA) có: \(OA\perp FA\) tại A(c/m trên)

=> FA là tiếp tuyến của đg tròn (O)

c) Xét \(\Delta ABN\) có:

BM là trung tuyến ứng vs AN( M là trung điểm của AN)

đồng thời BM là đg cao ứng vs AN

=> \(\Delta ABN\) cân tại B( Nếu một tam giác có đg trung tuyến ứng vs một cạnh, đồng thời là đg cao ứng vs cạnh đó thì tam giác đó là tam giác cân)

=> BA=BN và BM là phân giác của góc B

=> BN là bán kính của (B)

Xét \(\Delta ABFvà\Delta NBFcó:\)

BA=BN( c/m trên)

\(\widehat{ABF}=\widehat{NBF}\)(BM là phân giác của \(\widehat{B}\))

BF là cạnh chung

=> \(\Delta ABF=\Delta NBF\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{A}=\widehat{N}\)( 2 góc tương ứng). Mà \(\widehat{A}=90^o\)

=> \(\widehat{N}=90^o\) => \(BN\perp NF\) tại N

Xét đg tròn (B;BN) có: BN\(\perp\)NF tại N( c/m trên)

=> NF là tiếp tuyến của đg tròn (B;BA)

d) Xét \(\Delta NBF\) vuông tại N(\(\widehat{N}=90^o\)) có:

\(NB^2=BM.BF\) (3)(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mặt khác \(NB^2+NF^2=BF^2\)(Định lý Pytago)

=> \(NB^2=BF^2-NF^2\) (4)

Từ (3) và (4) => \(BM.BF=BF^2-NF^2\)(cùng =\(NB^2\))

a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

=>ΔAMB vuông tại M

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại C
Xét ΔNAB có

AC,BM là các đường cao

AC cắt BM tại E

=>E là trực tâm

=>NE vuông góc với AB

b: Xét tứ giác NEAF có

M là trung điểm chung của NA và EF

nên NEAF là hình bình hành

=>NE//AF

=>AF vuông góc với AB

=>FA là tiếp tuyến của (O)

Em vừa giải ra, nhưng hy vọng tìm được cách đơn giản hơn.

Cách của em:

a+ b)

Dễ có AN là đường trung trực FE nên AF = FE.

^FAE=180^o - 2. ^AEF = 180^o - 2. ^CEB = 2. ^EBC

Dễ có BM là đường trung trực AN nên BN = BA.

Do đó tam giác NBA cân tại B.

Vậy BM là đường trung trực đồng thời là phân giác.

Vậy ^EBC = ^ABE suy ra ^FAE = 2. ^EBC = ^EBC +^ABE = ^CBA.

Ta có: ^FAB = ^FAE+^CAB=^CBA +^CAB = 90^o

Vậy FA là tiếp tuyến (O) (1)

Mặt khác tứ giác FNEA có FM = ME; MN = MA nên là hình bình hành.

Vậy FA // NE (2)

Từ (1) và (2) suy ra NE vuông góc với AB.

c) BM là đường trung trực AN nên BF là đường trung trực AN

Có ngay FN = FA \(\Rightarrow\widehat{FNA}=\widehat{FAN}\)

Dễ chứng minh $\Delta MBN = \Delta MBA$ nên $\widehat{ANB}=\widehat{NAB}$

$\widehat{FNB}=\widehat{FAN}+\widehat{NAB}=\widehat{FAB}=90^o$

d) $BF^2-FN^2 =BN^2 = BM \cdot BF$

Em nghĩ quá phức tạp :D

\(\widehat{AMB}\) và \(\widehat{ACB}\) đều là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên AC và BM là 2 đường cao của tam giác ABN

\(\Rightarrow\) E là trực tâm \(\Rightarrow NE\) là đường cao thứ 3 \(\Rightarrow NE\perp AB\)

lm đc đúng 3 câu thôi ạ

Vì AB là đg kính nên ab=2r

Xét tamgiac amb vuông tại M

AB mũ hai = am mũ hai +mb mũ hai

(2R)mũ hai =r mũ hai +mb mũ hai 

mb mũ hai = cân bằng r mũ hai - r mũ hai

Suy ra : mb=R\(\sqrt{3}\)

Tham khảo :

Tham khảo : 

a) Tam giác ABM nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại M

Suy ra: AN ⊥ BM

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại C

Suy ra: AC ⊥ BN

Tam giác ABN có hai đường cao AC và BM cắt nhau tại E nên E là trọng tâm của tam giác ABN

Suy ra: NE ⊥ AB

b) Ta có: MA = MN ( tính chất đối xứng tâm)

                 ME = MF ( tính chất đối xứng tâm)

Tứ giác AENF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi điểm đường nên nó là hình bình hành.

Suy ra:    AF // NE

Mà          NE ⊥ AB ( chứng minh trên)

Suy ra: AF ⊥ AB tại A.

Vậy FA là đường trung tuyến của đường tròn (O).

c) Trong tam giác ABN ta có: AN ⊥ BM và AM = AN

Suy ra tam giác ABN cân tại B.

Suy ra BA = BN hay N thuộc đường tròn (B; BA)

Tứ giác AFNE là hình bình hành nên  AE // FN hay FN // AC

Mặt khác: AC ⊥ BN ( chứng minh trên)

Suy ra: FN ⊥ BN tại N

Vậy FN là tiếp tuyến của đường tròn ( B; BA).