Question

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ N đối xứng với A qua M, BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm AC và BM.

a, CM: NE vuông góc AB

b, Gọi F đối xứng với E qua M. CM: FA là tiếp tuyến của đường tròn O

c, CM: FN là tiếp tuyến của đường tròn tâm B bán kính BA

d, CM: BM . BF = BF² - FN²

Answer 1

a) Xét tam giác AMB có :

MO = OA = OB ( =bk )

\(\Rightarrow MO=\frac{1}{2}AB\)

=> Tam giác AHB vuông tại M

=> EM là đường cao của tam giác ANE

- Xét tam giác ACB có : OC = OB = OA ( =bk )

\(\Rightarrow OC=\frac{1}{2}AB\Rightarrow\Delta ACB\)vuông tại C

=> NC là đường cao của tam giác ANE

=> B là giao điểm 3 đường cao của tam giác ANE

=> AB là đường cao của tam giác ANE

Vậy : \(NE\perp AB\left(đpcm\right)\)

b) Xét 2tam giác : MAF và MNE

                       Có : MA = MN (gt) 

                              MF = ME ( gt )

                              ^AMF = ^NME ( đối đỉnh )

do đó : \(\Delta MAF=\Delta NME\left(c-g-c\right)\)

=> ^AFM = ^NEM

Mà 2 góc ^AFM và ^NEM có vị trí so le 

=> AF // NE

Mà : \(NE\perp AB\)( c/m câu a ) => \(AF\perp AB\)tại A

Vậy : FA là tiếp tuyến đường tròn (O) ( đpcm )

c) Ta có : ^AMB = 90^o => \(FB\perp AN\)

                      MA = MB

=> FB là đường trung trực của AN

=> BN = BA ; FN = FA

- Xét 2 tam giác : ABF và NBF có : BN = BA ; FN = FA

FB chung

\(\Rightarrow\Delta ABF=\Delta NBF\left(c-c-c\right)\)

=> ^BNF = ^BAF = 90^o

\(\Rightarrow BN\perp FN\)tại B mà BN = BA

Vậy : FN là tiếp tuyến của đường tròn ( B ; BA ) ( đpcm )