Bạn tự vẽ hình nha ;)
a) Xét đg tròn (O), đg kính AB có:
\(\left\{\begin{matrix}C\in\left(O\right)\\M\in\left(O\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\Delta ABC\\\Delta ABM\end{matrix}\right.vuông \Rightarrow\left\{\begin{matrix}AC\perp BN\\BM\perp AN\end{matrix}\right.\)
Xét \(\Delta ABN\) có: \(\left\{\begin{matrix}AC\perp BN\\BM\perp AN\end{matrix}\right.\)(c/m trên)
Mà AC và BN cắt nhau tại E
=> \(NE\perp AB\)
b) Gọi giao điểm của NE và AB là I => \(NI\perp AB\)
Xét tứ giác AENF có: AN cắt EF tại M
Mà M là trung điểm của AN( A đx với N qua M)
M là trung điểm của EF(E đx với F qua M)
=> AENF là hình bình hành( Tứ giác có 2 đ/c cắt nhau tại trung điểm của mỗi đg là hình bình hành) => AF // EN => \(\widehat{NAF}=\widehat{ANI}\) (1) ( 2 góc so le trong)
Xét \(\Delta ANI\) vuông tại I( NI\(\perp AB\)) có: \(\widehat{ANI}+\widehat{NAI}=90^o\) (2) ( 2 góc nhọn phụ nhau)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{NAF}+\widehat{NAI}=90^o\) => \(\widehat{OAF}=90^o\) => OA\(\perp\)FAtại A
Xét đg tròn(O; OA) có: \(OA\perp FA\) tại A(c/m trên)
=> FA là tiếp tuyến của đg tròn (O)
c) Xét \(\Delta ABN\) có:
BM là trung tuyến ứng vs AN( M là trung điểm của AN)
đồng thời BM là đg cao ứng vs AN
=> \(\Delta ABN\) cân tại B( Nếu một tam giác có đg trung tuyến ứng vs một cạnh, đồng thời là đg cao ứng vs cạnh đó thì tam giác đó là tam giác cân)
=> BA=BN và BM là phân giác của góc B
=> BN là bán kính của (B)
Xét \(\Delta ABFvà\Delta NBFcó:\)
BA=BN( c/m trên)
\(\widehat{ABF}=\widehat{NBF}\)(BM là phân giác của \(\widehat{B}\))
BF là cạnh chung
=> \(\Delta ABF=\Delta NBF\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{A}=\widehat{N}\)( 2 góc tương ứng). Mà \(\widehat{A}=90^o\)
=> \(\widehat{N}=90^o\) => \(BN\perp NF\) tại N
Xét đg tròn (B;BN) có: BN\(\perp\)NF tại N( c/m trên)
=> NF là tiếp tuyến của đg tròn (B;BA)
d) Xét \(\Delta NBF\) vuông tại N(\(\widehat{N}=90^o\)) có:
\(NB^2=BM.BF\) (3)(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mặt khác \(NB^2+NF^2=BF^2\)(Định lý Pytago)
=> \(NB^2=BF^2-NF^2\) (4)
Từ (3) và (4) => \(BM.BF=BF^2-NF^2\)(cùng =\(NB^2\))
