a; Xét tam giác ABC nội tiếp (O,R) có AH,BK là 2đường cao => góc AHB=góc BKA=90.

Vì K và H là 2 đỉnh liên tiếp của tứ giác ABHK 

=> tứ giác ABHK nội tiếp

b,Xét đường tròn (O,R) có góc ACB là góc nội tiếp chắn cung AB 

LẠi có góc AOB là góc ở tâm chắn cung AB 

=>sđ góc AOB=2 sđ góc ACB=2x70=140 độ

=> S quạt OAB=\(\pi\).R^2.n/360=\(\pi\).25.140/360=\(\pi\).175/18 cm2

c,

c, xét tam giác ABC nội tiếp (O,R) có góc BED là góc nội tiếp chắn cung BD

Lại có tứ giác ABHK nội tiếp (cmt) nên góc BKH= góc BAH (cùng chắn cung BH)

Có góc BAD là góc nội tiếp chắn cung BD=> góc BAD=góc BED(cùng chắn cung BD)

=> góc BED=góc BKH mà 2 góc này ở vị trí đồng vị => HK song song DE

2) Ta có: 

\(C_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=54\left(cm\right)\) (1)

\(C_{ABD}=AB+BD+AD=68\)

\(\Rightarrow AB=68-BD-AD\) (2)

\(C_{BCD}=BC+BD+CD=40\)

\(\Rightarrow CD=40-BC-BD\) (3)

Thay (2) và (3) vào (1) ta có:

\(68-BD-AD+BC+AD+40-BC-BD=54\)

\(\Rightarrow108-2BD=54\)

\(\Rightarrow2BD=108-54\)

\(\Rightarrow2BD=54\)

\(\Rightarrow BD=27\left(cm\right)\)

3: Nếu bốn góc trong tứ giác đều là góc nhọn thì chắc chắn tổng 4 góc cộng lại sẽ nhỏ hơn 360 độ

=>Trái với  định lí tổng 4 góc trong một tứ giác

Nếu bốn góc trong tứ giác đều là góc tù thì chắc chắn tổng 4 góc cộng lại sẽ lớn hơn 360 độ

=>Trái với định lí tổng 4 góc trong một tứ giác

Do đó: 4 góc trong 1 tứ giác không thể đều là góc nhọn hay đều là góc tù được

Có:\(BH=\dfrac{AH}{tan\alpha}\)

\(CH=\dfrac{AH}{tan\beta}\)

\(\Rightarrow BH+CH=AH\left(\dfrac{1}{tan\alpha}+\dfrac{1}{tan\beta}\right)\)

\(\Rightarrow a=AH\left(\dfrac{1}{tan\alpha}+\dfrac{1}{tan\beta}\right)\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{a}{\dfrac{1}{tan\alpha}+\dfrac{1}{tan\beta}}\)

Vậy...

Gọi tứ giác là ABCD, E là giao điểm 2 đường chéo, a là góc nhọn tạo bởi 2 đường chéo. Từ A và C lần lượt kẻ AH và CK vuông góc BD

\(\Rightarrow AH=AE.sina\) ; \(CK=CE.sina\)

\(S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{CBD}=\dfrac{1}{2}AH.BD+\dfrac{1}{2}CK.BD\)

\(\Rightarrow S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}BD\left(AH+CK\right)=\dfrac{1}{2}BD.\left(AE.sina+CE.sina\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}BD.sina\left(AE+CE\right)=\dfrac{1}{2}BD.sina.AC=\dfrac{1}{2}AC.BD.sina\)

\(=\dfrac{1}{2}.9.13.sin48^0\approx43,5\left(cm^2\right)\)