Em thử nhé, ko chắc đâu

a) \(B=\frac{n^3+2n^2+2n+1}{n^3+2n^2+2n+1}-\frac{2n+2}{n^3+2n^2+2n+1}=1-\frac{2\left(n+1\right)}{\left(n+1\right)\left(n^2+n+1\right)}=1-\frac{2}{n^2+n+1}=\frac{n^2+n-1}{n^2+n+1}\)

b) Đặt (n²+n-1 ; n²+n+1) = d

Thì \(\left\{{}\begin{matrix}n^2+n-1⋮d\\n^2+n+1⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow2⋮d\)

Dễ thấy d khác 2 vì n²+n-1 ; n²+n+1 luôn là số lẻ với mọi n thuộc Z.

Do đó d = 1 hay phân số rút gọn luôn tối giản

\(B=\frac{n^3+2n^2-1}{n^3+2n^2+2n+1}=\frac{\left(n^3+n^2\right)+\left(n^2-1\right)}{\left(n^3+n^2\right)+\left(n^2+n\right)+\left(n+1\right)}=\frac{n^2\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n-1\right)}{n^2\left(n+1\right)+n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)}=\frac{\left(n+1\right)\left(n^2+n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(n^2+n+1\right)}=\frac{n^2+n-1}{n^2+n+1}\)

\(Gọi:d=\left(n^2+n+1,n^2+n-1\right)\Rightarrow n^2+n+1-\left(n^2+n-1\right)⋮d\Leftrightarrow n^2-n^2+n-n+1+1⋮d\Leftrightarrow2⋮d\Leftrightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)

\(n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\)n và n+1 là 2 so tự nhiên liên tiếp => có 1 so chan trong 2 so n và n+1 \(\Rightarrow n\left(n+1\right)chan\Rightarrow n\left(n+1\right)+14le\Rightarrow n^2+n+1\text{ }le\Rightarrow d\text{ }le\Rightarrow d=1\Rightarrow\forall n\in Z\text{ thì phân so rút gọn toi gian}\)

Lời giải:
a)

\(B=\frac{n^3+2n^2-1}{n^3+2n^2+2n+1}=\frac{n^2(n+1)+(n^2-1)}{n^2(n+1)+n(n+1)+(n+1)}\)

\(=\frac{n^2(n+1)+(n-1)(n+1)}{(n+1)(n^2+n+1)}=\frac{(n+1)(n^2+n-1)}{(n+1)(n^2+n+1)}=\frac{n^2-n+1}{n^2+n+1}\)

b)

Gọi $d$ là ƯCLN của \((n^2-n+1,n^2+n+1)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n^2-n+1\vdots d\\ n^2+n+1\vdots d\end{matrix}\right.(*)\) \(\Rightarrow (n^2+n+1)-(n^2-n+1)\vdots d\) hay $2n\vdots d(1)$

Mà $n^2-n+1=n(n-1)+1$ lẻ do $n(n-1)$ chẵn, mà ước của số lẻ thì phải lẻ nên $d$ lẻ (2)

Từ (1);(2) suy ra $n\vdots d(3)$

Từ $(*); (3)\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy $(n^2-n+1,n^2+n+1)=1\Rightarrow B=\frac{n^2-n+1}{n^2+n+1}$ là phân số tối giản.

\(P=\frac{n^3+2n^2-1}{n^3+2n^2+2n+1}\)

ĐKXĐ : \(n\ne-1\)

\(=\frac{n^3+n^2+n^2+n-n-1}{n^3+2n^2+2n+1}=\frac{n^2\left(n+1\right)+n\left(n+1\right)-\left(n+1\right)}{\left(n^3+1\right)+2n\left(n+1\right)}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n^2+n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)+2n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n+1\right)\left(n^2+n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(n^2+n+1\right)}=\frac{n^2+n-1}{n^2+n+1}\)

Với n nguyên, đặt ƯC( n² + n - 1 ; n² + n + 1 ) = d

=> n² + n - 1 ⋮ d và n² + n + 1 ⋮ d

=> ( n² + n + 1 ) - ( n² + n - 1 ) ⋮ d

=> n² + n + 1 - n² - n + 1 ⋮ d

=> 2 ⋮ d => d = 1 hoặc d = 2

Dễ thấy n² + n + 1 ⋮/ 2 ∀ n ∈ Z ( bạn tự chứng minh )

=> loại d = 2

=> d = 1

=> ƯCLN( n² + n - 1 ; n² + n + 1 ) = 1

hay P tối giản ( đpcm )

\(M=\dfrac{n^3+2n^2-1}{n^3+2n^2+2n+1}\)

\(=\dfrac{n^3+n^2+n^2+n-n-1}{\left(n+1\right).\left(n^2-n+1\right)+2n.\left(n+1\right)}\)

\(=\dfrac{n^2\left(n+1\right)+n\left(n-1\right)-\left(n+1\right)}{\left(n+1\right).\left(n^2-n+1+2n\right)}\)

\(=\dfrac{\left(n+1\right).\left(n^2+n-1\right)}{\left(n+1\right).\left(n^2+n+1\right)}\)

\(=\dfrac{n^2+n-1}{n^2+n+1}\)

\(a=\lim n\left(\sqrt[3]{-1+\dfrac{2}{n}-\dfrac{5}{n^3}}\right)=+\infty.\left(-1\right)=-\infty\)

\(b=\lim\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)=+\infty\)

\(c=\lim n\left(\dfrac{1}{n^2+n}-1\right)=+\infty.\left(-1\right)=-\infty\)

\(d=\lim\left(\dfrac{2n^2-1-2n\left(n+1\right)}{n+1}\right)=\lim\left(\dfrac{-1-2n}{n+1}\right)=-2\)

\(e=\lim\dfrac{2n^2+n-3+\dfrac{1}{n}}{\dfrac{2}{n}-3}=\dfrac{+\infty}{-3}=-\infty\)

what are you doing

tìm n nhé

3C\(^0\)\(_{2n}\) \(-\) \(\dfrac{1}{2}\)C\(^1\)\(_{2n}\) \(-\) \(\dfrac{1}{4}\)C\(^3\)\(_{2n}\) +...+ \(\dfrac{3}{2n+1}\)C\(^{2n}\)\(_{2n}\) \(=\) \(\dfrac{10923}{5}\)

Chọn B