Ta có :

<=> u³ - 3u - 2 \(\le\) v³ - 3v + 2 <=> ( u + 1 )²( u - 2 ) \(\le\) ( v - 1 )²( v + 2 )

Đặt x = u + 1 , y = v -1 thì :

BĐT <=> x³ - 3x² \(\le\) y³ + 3y² <=> x³ - y^{3 \(\le\)} 3(x² + y²)

Ta có : x - y = ( u - v ) + 2 \(\le\)2

=> ( x - y ) ( x² + xy + y² ) \(\le\)2( x² + xy + y²) = 2(x² + y²) + 2xy \(\le\) 2(x² + y²) + ( x² + y² ) = 3(x² + y² ) => x³ - y³ \(\le\) 3(x² +y² ) ( đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi <=> x = y = 0 <=> u = -1 ; v = 1

Do \(-1\le a;b;c\le1\)

\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)+\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-abc-a-b-c+ab+bc+ca+1+abc+b+c+c+ab+bc+ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)+2\ge a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+2\ge a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le2\)

Mà \(\left|a\right|;\left|b\right|;\left|c\right|\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^4\le a^2\\b^6\le b^2\\c^8\le c^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^4+b^6+c^8\le a^2+b^2+c^2\le2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(-1;0;1\right)\) và các hoán vị

Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức ở vế trái

a) VT = 3 u 2  + 9u + 27 – ( u 3  – 32 u 2  + 9u) = 27 –  u 3  = VP (đpcm).

b) VT = ( t 2  – 4)( t 2  + 4) =  t 4  – 16 = VP. (đpcm).

Từ a+b+c=6 \(\Rightarrow\)a+b=6-c

Ta có: ab+bc+ac=9\(\Leftrightarrow\)ab+c(a+b)=9

                               \(\Leftrightarrow\)ab=9-c(a+b)

           Mà a+b=6-c (cmt)

                                \(\Rightarrow\)ab=9-c(6-c)

                                \(\Rightarrow\)ab=9-6c+c²

Ta có: (b-a)²\(\ge\)0 \(\forall\)b, c

  \(\Rightarrow\)b²+a²-2ab\(\ge\)0

  \(\Rightarrow\)(b+a)²-4ab\(\ge\)0

  \(\Rightarrow\)(a+b)²\(\ge\)4ab

Mà a+b=6-c (cmt)

         ab= 9-6c+c² (cmt)

  \(\Rightarrow\)(6-c)²\(\ge\)4(9-6c+c²)

  \(\Rightarrow\)36+c²-12c\(\ge\)36-24c+4c²

  \(\Rightarrow\)36+c²-12c-36+24c-4c²\(\ge\)0

  \(\Rightarrow\)-3c²+12c\(\ge\)0

  \(\Rightarrow\)3c²-12c\(\le\)0

  \(\Rightarrow\)3c(c-4)\(\le\)0

  \(\Rightarrow\)c(c-4)\(\le\)0

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}}\)hoặc\(\hept{\begin{cases}c\le0\\c-4\ge0\end{cases}}\)

*\(\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c\le4\end{cases}\Leftrightarrow}0\le c\le4}\)

*

\(VT\le\frac{x^2+16-y}{2}+\frac{y+16-x^2}{2}=\frac{32}{2}=16\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\y=16-x^2\end{matrix}\right.\)

Đề bài không rõ ràng. n ở đây là tự nhiên, nguyên hay là chơi luôn cả R