\(\dfrac{2}{a+2}+\dfrac{2}{b+2}+\dfrac{2}{c+2}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{a+2}-1+\dfrac{2}{b+2}-1+\dfrac{2}{c+2}-1\ge2-3\)

\(\Rightarrow1\ge\dfrac{a}{a+2}+\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+2}=\dfrac{a^2}{a^2+2a}+\dfrac{b^2}{b^2+2b}+\dfrac{c^2}{c^2+2c}\)

\(\Rightarrow1\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2a+b^2+2b+c^2+2c}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\) đpcm

Phía trên thoả mãn \(\ge1\) chứ không phải 3/2 đâu ạ 

\(1+\dfrac{9}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge1+\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge2\sqrt{\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}}=\dfrac{6}{a+b+c}\)

Lời giải:

Không mất tổng quát giả sử \(c=\min (a,b,c)\)

Khi đó, do \(ab+bc+ac=3\Rightarrow ab\geq 1\).

Với $ab\geq 1$ ta có bổ đề sau: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\)

Để cm bổ đề trên rất đơn giản. Quy đồng và biến đổi tương đương thu được \((a-b)^2(ab-1)\geq 0\) (luôn đúng với mọi \(ab\geq 1\) )

Sử dụng bổ đề vào bài toán:

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}=\frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}(*)\)

Giờ ta sẽ cm \(\frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}\geq \frac{3}{2}(**)\)

\(\Leftrightarrow 2(2c^2+ab+3)\geq 3(abc^2+ab+c^2+1)\)

\(\Leftrightarrow c^2+3\geq 3abc^2+ab\)

\(\Leftrightarrow c^2+bc+ac\geq 3abc^2\)

\(\Leftrightarrow c+b+a\geq 3abc\).

BĐT trên đúng do theo AM-GM: \(3(a+b+c)=(ab+bc+ac)(a+b+c)\geq 9abc\Rightarrow a+b+c\geq 3abc\) )

Do đó $(*)$ được cm.

Từ \((*),(**)\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Vì abc=1 nên tồn tại x,y,z sao cho \(a=\dfrac{x}{y};b=\dfrac{y}{z};c=\dfrac{z}{x}\)

\(VT=\sum\dfrac{a}{ab+1}=\sum\dfrac{\dfrac{x}{y}}{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{z}+1}=\sum\dfrac{xz}{xy+yz}\)

Đổi \(\left(xy;yz;zx\right)=\left(m,n,p\right)\)thì \(VT=\sum\dfrac{m}{n+p}\ge\dfrac{3}{2}\left(BĐT-Nesbit\right)\)( đpcm)

Dấu = xảy ra khi m=n=p hay x=y=z hay a=b=c=1.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Shwarz dạng Engel và AM - GM có:
\(\dfrac{a^5}{bc}+\dfrac{b^5}{ca}+\dfrac{c^5}{ab}=\dfrac{a^6}{abc}+\dfrac{b^6}{abc}+\dfrac{c^6}{abc}\ge\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}\)

\(=\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}=a^3+b^3+c^3\)

Dấu " = " khi a = b = c = 1

Vậy...

Lời giải khác:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\left\{\begin{matrix} \frac{a^5}{bc}+abc\geq 2\sqrt{a^6}=2a^3\\ \frac{b^5}{ac}+abc\geq 2\sqrt{b^6}=2b^3\\ \frac{c^5}{ab}+abc\geq 2\sqrt{c^6}=2c^3\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ac}+\frac{c^5}{ab}\geq 2(a^3+b^3+c^3)-3abc\)

Mặt khác, cũng theo BĐT AM-GM:

\(a^3+b^3+c^3\geq 3abc\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)-3abc\geq a^3+b^3+c^3\)

Kéo theo \(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ac}+\frac{c^5}{ab}\geq a^3+b^3+c^3\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)

Áp dụng BĐT Cosi:

\(\dfrac{a}{\sqrt{b^2+ab}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2\left(b^2+ab\right)}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2b\left(a+b\right)}}\ge\dfrac{a\sqrt{2}}{\dfrac{2b+a+b}{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}a}{a+3b}\)

Cmtt: \(\dfrac{b}{\sqrt{c^2+bc}}\ge\dfrac{2\sqrt{2}b}{b+3c};\dfrac{c}{\sqrt{a^2+ca}}\ge\dfrac{2\sqrt{2}c}{c+3a}\)

\(\Leftrightarrow P\ge2\sqrt{2}\left(\dfrac{a}{a+3b}+\dfrac{b}{b+3c}+\dfrac{c}{c+3a}\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge2\left(\dfrac{a}{a+3b}+\dfrac{b}{b+3c}+\dfrac{c}{c+3a}\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge\dfrac{2}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow P\ge\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)