c/m:\(\dfrac{a^4+b^4}{2}\)\(\ge\)\(ab^3+a^3b-a^2b^2\)
Những câu hỏi liên quan
c/m bất đảng thức :
a)dfrac{a}{3b}+dfrac{bleft(a+bright)}{a^2+ab+b^2}
b)dfrac{a}{b^2}+dfrac{b}{a^2}+dfrac{16}{a+b}ge5left(dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}right)
c)dfrac{a}{2b}+dfrac{2b}{a+b}+dfrac{ab^2}{2left(a^3+2b^3right)}gedfrac{5}{3}
d)dfrac{a}{4b^2}+dfrac{2b}{left(a+bright)^2}gedfrac{9}{4left(a+2bright)}
e)dfrac{2}{a^2+ab+b^2}+dfrac{1}{3b^2}gedfrac{9}{left(a+2bright)^2}
Đọc tiếp
c/m bất đảng thức :
a)\(\dfrac{a}{3b}+\dfrac{b\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\)
b)\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}+\dfrac{16}{a+b}\ge5\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
c)\(\dfrac{a}{2b}+\dfrac{2b}{a+b}\)+\(\dfrac{ab^2}{2\left(a^3+2b^3\right)}\ge\dfrac{5}{3}\)
d)\(\dfrac{a}{4b^2}+\dfrac{2b}{\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{9}{4\left(a+2b\right)}\)
e)\(\dfrac{2}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{1}{3b^2}\ge\dfrac{9}{\left(a+2b\right)^2}\)
CMR : \(\dfrac{a^4+b^4}{2}\ge ab^3+a^3b-a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+2a^2b^2-2a^3b-2ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2-2ab\left(a^2+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Đúng 2
Bình luận (0)
Cho các số thực dương a,b. Chứng minh rằng:
a/ \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{9ab}{a^2+b^2}\ge\dfrac{13}{2}\)
b/ \(\dfrac{a}{3b}+\dfrac{b\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge1\)
c/ \(\dfrac{a}{2b}+\dfrac{2b}{a+b}+\dfrac{ab}{2\left(a^3+2b^3\right)}\ge\dfrac{5}{3}\)
a) Sai với \(a=1,b=2\)
b)
Thực hiện biến đổi tương đương:
\(\frac{a}{3b}+\frac{b(a+b)}{a^2+ab+b^2}\geq 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{3b}+\frac{b(a+b)+a^2}{a^2+ab+b^2}-\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{3b}-\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{3b}-\frac{a}{a^2+ab+b^2}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2+ab+b^2-3ab}{3b(a^2+ab+b^2)}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{3b(a^2+ab+b^2)}\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b$
c) BĐT sai với \(a=1,b=2\)
Đúng 0
Bình luận (1)
CM CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SAU
A) \(A^2+B^2\ge AB+AB\)
B) \(A^3+B^3\ge A^2B+AB^2\)
C) \(A^4+B^4\ge A^3B+AB^3\)
A) \(A^2+B^2\ge2AB\Leftrightarrow\left(A-B\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
B)\(A^2B=A\cdot A\cdot B;AB^2=A\cdot B\cdot B\)
áp dụng BĐT AM-GM
\(A\cdot A\cdot B\le\dfrac{A^3+A^3+B^3}{3};A\cdot B\cdot B\le\dfrac{A^3+B^3+B^3}{3}\)
cộng 2 vế của BĐT cho nhau
\(\Rightarrow A^2B+AB^2\le A^3+B^3\left(đpcm\right)\)
C)tương tự câu B) ta có
\(A^3B\le\dfrac{A^4+A^4+A^4+B}{4};AB^3\le\dfrac{A^4+B^4+B^4+B^{\text{4}}}{4}\)
cộng từng vế của BĐT ta có đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a;b \(\in R\)
C/m \(2\left(a^4+b^2\right)\ge ab^3+a^3b+2a^2b^2\)
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge ab^3+a^3b+2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)-ab^3-a^3b-2a^2b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)+\left(b^4-ab^3\right)+\left(a^4+b^4-2a^2b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)+\left(a+b\right)^2\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)+\left(a+b\right)^2\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)+\left(a+b\right)^2\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{2}\right]+\left(a+b\right)^2\left(a-b\right)^2\ge0\)
Xảy ra khi \(a=b=0\)
Đúng 0
Bình luận (3)
cm bất đẳng thức vs a,b,c dương
\(\dfrac{a^8}{b^4}+\dfrac{b^8}{c^4}+\dfrac{c^8}{a^4}\ge ab^3+bc^3+ca^3\)
\(\dfrac{a^4}{b^2}+\dfrac{b^4}{c^2}+\dfrac{2ca}{b}+4b^2c^2\ge8abc\)
\(\dfrac{a^4}{b^2c^2}+\dfrac{b^4}{a^2c^2}+\dfrac{c^4}{a^2b^2}\ge\dfrac{b}{\sqrt{ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{ab}}+\dfrac{a}{bc}\)
CM CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SAU
A) \(A^2+B^2\ge AB+AB\)
B) \(A^3+B^3\ge A^2B+AB^2\)
C) \(A^4+B^4\ge A^3B+AB^3\)
A)\(A^2+B^2\ge AB+AB\)
\(\Leftrightarrow\)\(A^2+B^2\ge2AB\)
\(\Leftrightarrow A^2-2AB+B^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(A+B\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy \(A^2+B^2\ge AB+AB\)(đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
Thu gọn đa thức sau:
a) A= \(5xy - y^2 - 2xy +4xy + 3x -2y\)
b) B= \(\dfrac{1}{2}ab^2 - \dfrac{7}{8}ab^2 + \dfrac{3}{4}a^2 b - \dfrac{3}{8}a^2b - \dfrac{1}{2}ab^2\)
c) C= \(2a^2b - 8b^2 + 5a^2b + 5c^2 - 3b^2 + 4c^2\)
Giúp mình với ạ. Cảm ơn các bạn nhiều!!
a: \(A=\left(5xy-2xy+4xy\right)+3x-2y-y^2\)
\(=7xy+3x-2y-y^2\)
b: \(B=\left(\dfrac{1}{2}ab^2-\dfrac{7}{8}ab^2-\dfrac{1}{2}ab^2\right)+\left(\dfrac{3}{4}a^2b-\dfrac{3}{8}a^2b\right)\)
\(=\dfrac{-7}{8}ab^2+\dfrac{3}{8}a^2b\)
c: \(C=\left(2a^2b+5a^2b\right)+\left(-8b^2-3b^2\right)+\left(5c^2+4c^2\right)\)
\(=7a^2b-11b^2+9c^2\)
Đúng 4
Bình luận (0)
\(A=5xy-y^2-2xy+4xy+3x-2y\)
\(A=-y^2+7xy+3x-2y\)
\(B=\dfrac{1}{2}ab^2-\dfrac{7}{8}ab^2+\dfrac{3}{4}a^2b-\dfrac{3}{8}a^2b-\dfrac{1}{2}ab^2\)
\(B=\dfrac{3}{8}a^2b-\dfrac{7}{8}ab^2\)
\(C=2a^2b-8b^2+5a^2b+5c^2-3b^2+4c^2\)
\(C=7a^2b-11b^2+9c^2\)
Đúng 7
Bình luận (0)
\(A=7xy-y^2+3x-2y\)
\(B=\dfrac{3}{8}a^2b-\dfrac{7}{8}ab^2\)
\(C=7a^2b-11b^2+9c^2\)
Đúng 3
Bình luận (0)
Chứng minh rằng : \(\frac{a^4+b^4}{2}\ge ab^3+a^3b-a^2b^2\)
\(\frac{a^4+b^4}{2}\ge ab^3+a^3b-a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+2a^2b^2-2ab^3-2a^3b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2-2ab\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a^2+b^2\right).2\sqrt{a^2.b^2}-2ab\left(a^2+b^2\right)=0\)( luôn đúng )
vì BĐT cuối luôn đúng nên BĐT đã cho đúng \(\Leftrightarrow a=b\)
Đúng 0
Bình luận (0)