Ta có: \(\frac{HD}{AD}=\frac{S_{HDC}}{S_{ADC}}=\frac{S_{HDB}}{S_{ADB}}=\frac{S_{HDC}+S_{HDB}}{S_{ADC}+S_{ADB}}=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\)

Tương tự: \(\frac{HM}{BM}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}};\frac{HN}{CN}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)

Từ đó suy ra \(\frac{HD}{AD}+\frac{HM}{BM}+\frac{HN}{CN}=\frac{S_{BHC}+S_{AHC}+S_{AHB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)(1)

Dễ thấy các cặp tam giác: ∆ADB và ∆CNB, ∆ADC và BMC, ∆AMB và ∆ANC đồng dạng với nhau nên: \(\frac{DB}{DC}.\frac{MC}{MA}.\frac{NA}{NB}=\frac{DB}{ NB}.\frac{MC}{DC}.\frac{NA}{MA}=\frac{AB}{BC}.\frac{BC}{AC}.\frac{AC}{AB}=1\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{HD}{AD}+\frac{HM}{BM}+\frac{HN}{CN}=\frac{DB}{DC}.\frac{MC}{MA}.\frac{NA}{NB}\)(đpcm)

a: Xét ΔABD vuông tại D và ΔCBA vuông tại A có

góc B chung

=>ΔABD đồng dạng với ΔCBA

=>BA^2=BD*BC

b: IA/ID=BA/BD

MA/MC=BA/BC

=>IA/ID*MA/MC=BA^2/BD*BC=1

< Bạn tự vẽ hình nha>

a)Xét ΔABE và  ΔACF, ta có:

góc A: chung

góc F=góc E= 90^o

^Vậy  ΔABE ∼  ΔACF (g.g)

b)Xét  ΔHEC và  ΔHFB là:

góc H: chung

H₁=H₂(đối đỉnh)

Vậy  ΔHEC∼ ΔHFB (g.g)

⇒\(\dfrac{HE}{HF}\)=\(\dfrac{HC}{HB}\)⇔HE.HB=HF.HC

<Mình chỉ biết đến đó thôi>

c: góc AFH+góc AEH=180 độ

=>AFHE nội tiếp

góc HDC+góc HEC=180 độ

=>HECD nội tiếp

góc HFB+góc HDB=180 độ

=>HFBD nội tiếp

góc FEH=góc BAD

góc DEH=góc FCB

góc BAD=góc FCB

=>góc FEH=góc DEH

=>EH là phân giác của góc FED(1)

góc EFH=góc DAC

góc DFC=góc EBC

góc DAC=góc EBC

=>góc EFH=góc DFH

=>FH là phân giác của góc DFE(2)

Từ (1), (2) suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp ΔDEF

e: Xét ΔBFH vuông tại F và ΔBEA vuông tại E có

góc EBA chung

=>ΔBFH đồng dạng với ΔBEA

=>BH*BE=BF*BA

Xet ΔAFH vuông tại F và ΔADB vuông tại D có

góc FAH chung

=>ΔAFH đồng dạng với ΔADB

=>AH*AD=AF*AB

=>BH*BE+AH*AD=AB^2

a) Dễ thấy tứ giác AMNC nội tiếp đường tròn đường kính MN.

b) Ta có tứ giác AMNC nội tiếp nên \(\angle BCM=\angle BAN\). Suy ra \(\Delta BCM\sim\Delta BAN\left(g.g\right)\).

Từ đó \(\dfrac{BM}{BN}=\dfrac{CM}{AN}\).

c) Gọi P' là trung điểm của MC.

Khi đó P' là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNC.

Ta có \(\widehat{AP'N}=2\widehat{ACN}=180^o-2\widehat{ABC}=180^o-\widehat{MON}\). Suy ra tứ giác AONP' nội tiếp.

Từ đó \(P'\equiv P\). Ta có \(OP=OP'=\dfrac{BC}{2}\) (đường trung bình trong tam giác BMC) không đổi khi M di động trên cạnh AB.

a)Vì BM là đường kính \(\Rightarrow\angle MNB=90\) mà \(\angle CAM=90\Rightarrow \) CAMN nội tiếp

b) Vì CAMN nội tiếp \(\Rightarrow \angle MCN=\angle MAN\)

Xét \(\Delta BMC\) và \(\Delta BNA\):Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BCM=\angle BAN\\\angle CBAchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BM}{BN}=\dfrac{MC}{NA}\)

c) gọi P' là trung điểm CM \(\Rightarrow\) P' là tâm của (AMNC)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle P'AM=\angle P'MA\\\angle P'NO=\angle P'NM+\angle MNO=\angle P'MN+\angle OMN\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \angle P'AM+\angle P'NO=\angle P'MA+\angle P'MN+\angle OMN=180\)

\(\Rightarrow \) P'NOA nội tiếp \(\Rightarrow P\equiv P'\Rightarrow\) P là trung điểm CM

Xét \(\Delta CMB:\)Ta có: P,O lần lượt là trung điểm CM,MB

\(\Rightarrow \) PO là đường trung bình \(\Delta CMB\Rightarrow PO=\dfrac{1}{2}BC\) cố định

-Sửa đề: Đoạn BC không đổi.

-BH cắt AC tại D.

-Xét △ABC có:

H là trực tâm, AK là đường cao.

\(\Rightarrow\)H∈AK, BH là đường cao.

Mà BH cắt AC tại D (gt)

\(\Rightarrow\)BH⊥AC tại D.

-Xét △HBK và △HAD có:

\(\widehat{BKH}=\widehat{HDA}=90^0\)

\(\widehat{BHK}=\widehat{AHD}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\)△HBK∼△HAD (g-g).

-Xét △HBK và △CAK có:

\(\widehat{HKB}=\widehat{CKA}=90^0\)

\(\widehat{HBK}=\widehat{KAC}\)(△HBK∼△HAD)

\(\Rightarrow\)△HBK∼△CAK (g-g).

\(\Rightarrow\dfrac{KH}{KC}=\dfrac{KB}{KA}\) (tỉ số đồng dạng)

\(\Rightarrow KH.KA=KB.KC\)

-Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow MB=MC=\dfrac{BC}{2}\)

\(KH.KA\le\dfrac{BC^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow KB.KC\le\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(MB-MK\right)\left(MC+MK\right)\le MB^2\) (do cách dựng hình)

\(\Leftrightarrow\left(MB-MK\right)\left(MB+MK\right)\le MB^2\)

\(\Leftrightarrow MB^2-MK^2\le MB^2\) (luôn đúng do MK>0)

-Vậy \(KH.KA\le\dfrac{BC^2}{4}\) . Dấu bằng xảy ra khi △ABC cân tại A.