cho hệ PT \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=m\\x^2+y^2=-m^2+6\end{matrix}\right.\)
( m là tham số )tìm m để hệ có nghiêm (x,y) sao cho P=xy+2(x+y) đạt GTNN. tìm GTNN đó
cho hệ PT \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=m\\x^2+y^2=-m^2+6\end{matrix}\right.\)\(\hept{\begin{cases}x+y=m\\x^2+y^2=-m^2+6\end{cases}}\)
( m là tham số )tìm m để hệ có nghiêm (x,y) sao cho P=xy+2(x+y) đạt GTNN. tìm GTNN đó
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}x+y=m\\x^2+y^2=-m^2+6\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=m\\\left(x+y\right)^2-2xy=-m^2+6\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x+y=m\\xy=m^2-3\end{cases}}}\)
Suy ra:
\(P=xy+2\left(x+y\right)=m^2-3+2m=\left(m^2+2m+1\right)-4=\left(m+1\right)^2-4\ge-4\)
Vậy GTNN của P là -4 khi m = -1.
Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m+1\right)x-y=m+1\\x+\left(m-1\right)y=2\end{matrix}\right.\)
Tìm m để hệ pt có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x+y đạt GTNN
=>y=(m+1)x-m-1 và x+(m^2-1)x-m^2+1=2
=>x=2-1+m^2/m^2 và y=(m+1)x-m-1
=>x=(m^2+1)/m^2 và y=(m^3+m^2+m+1-m^3-m^2)/m^2=(m+1)/m^2
x+y=(m^2+m+2)/m^2
Để x+y min thì m^2+m+2 min
=>m^2+m+1/4+7/4 min
=>(m+1/2)^2+7/4min
=>m=-1/2
biết cặp số (x,y) là nghiệm của hệ pt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=m\\x^2+y^2=-m^2+6\end{matrix}\right.\)
hãy tìm giá trị của tham số m để biểu thức P=xy+2(x+y) đạt GTNN
hpt <=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=m\\\left(x+y\right)^2-2xy=-m^2+6\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=m\\\frac{2m^2-6}{2}=xy\end{matrix}\right.\)
Có \(P=xy+2\left(x+y\right)=\frac{2m^2-6}{2}+2m\)
=\(\frac{2m^2-6+4m}{2}=\frac{2\left(m+1\right)^2-8}{2}\ge-4\)
Dấu "=" xảy ra <=> m=-1
cho hệ PT \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=3m-1\end{matrix}\right.
\)
a) Tìm m để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho x,y đạt GTNN
em tham khảo câu e cuối ấy , đó là câu a của e á:
Cho x,y là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2m-1\\x^2+y^2=m^2+2m-3\end{matrix}\right.\). Tìm m để P=xy đtạ GTNN
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2m-1\left(1\right)\\x^2+y^2=m^2+2m-3\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=m^2+2m-3\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2-m^2-2m+3=2xy\)
\(\Leftrightarrow2xy=3m^2-6m+4\)
\(P_{min}\Leftrightarrow3m^2-6m+4\left(min\right)\)
\(3\left(m^2-2m+\dfrac{4}{3}\right)=3\left(m^2-2m+1+\dfrac{1}{3}\right)=3\left[\left(m-1\right)^2+\dfrac{1}{3}\right]=3\left(m-1\right)^2+1\ge1\)
\("="\Leftrightarrow m=1\)
cho hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=3-m\\2x+y=3\left(m+2\right)\end{matrix}\right.\)
khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x,y) tìm m để
a) x>0 và y<0
b) biểu thức A = x^2 + y^2 đạt GTNN
a: Vì \(\dfrac{1}{2}\ne-\dfrac{2}{1}\)
nên hệ luôn có nghiệm duy nhất
\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=3-m\\2x+y=3\left(m+2\right)\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=3-m\\4x+2y=6\left(m+2\right)=6m+12\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}5x=3-m+6m+12=5m+15\\x-2y=3-m\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+3\\2y=x-3+m=m+3-3+m=2m\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+3\\y=m\end{matrix}\right.\)
Để x>0 và y<0 thì \(\left\{{}\begin{matrix}m+3>0\\m< 0\end{matrix}\right.\)
=>-3<m<0
b: \(A=x^2+y^2=\left(m+3\right)^2+m^2\)
\(=2m^2+6m+9\)
\(=2\left(m^2+3m+\dfrac{9}{2}\right)\)
\(=2\left(m^2+3m+\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{4}\right)\)
\(=2\left(m+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{9}{2}>=\dfrac{9}{2}\forall m\)
Dấu '=' xảy ra khi \(m+\dfrac{3}{2}=0\)
=>\(m=-\dfrac{3}{2}\)
1)Cho hệ pt : \(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=m\\-5x+y=-1\end{matrix}\right.\)
Tìm m để hệ pt có nghiệm x>0 ,y>0
2) Cho pt\(mx^2-2\left(m-1\right)x+m-1=0\) (m là tham số)
Tìm m để pt có nghiệm kép ,có nghiệm duy nhất
\(2)mx^2-2\left(m-1\right)x+m-1=0\)
Để pt có nghiệm kép \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4m\left(m-1\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow4\left(m^2-2m+1\right)-4m^2+4m=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-4m^2+4m=0\)
\(\Leftrightarrow-4m+4=0\)
\(\Leftrightarrow m=1\)
Vậy để pt trên có nghiệm kép thì \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m=1\end{matrix}\right.\)
Bài 1: Giải hệ PT \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2x-2}-\dfrac{1}{y-1}=2\\\dfrac{3}{2x-2}-\dfrac{2}{y-1}=1\end{matrix}\right.\)
Bài 2 : Cho hệ PT \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=1\\x-my=m\end{matrix}\right.\)( m là tham số )
a) Tìm đk của m để hệ PT có nghiệm duy nhất
b) Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > -1
Bài 3 : Cho hệ PT \(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=2\\x+my=5\end{matrix}\right.\)( m là tham số )
Tìm m để hệ PT có nghiệm thỏa mãn x + y= 1 - \(\dfrac{m^2}{m^2+1}\)
Bài 1:
Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{2x-2}\\v=\dfrac{1}{y-1}\end{matrix}\right.\) (ĐK: \(x,y\ne1\))
Hệ trở thành:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u-v=2\\3u-2v=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3u-3v=6\\3u-2v=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-v=5\\u-v=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}v=-5\\u=2+-5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}v=-5\\u=-3\end{matrix}\right.\)
Trả lại ẩn của hệ pt:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{y-1}=-5\\\dfrac{1}{2x-2}=-3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-1=-\dfrac{1}{5}\\2x-2=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{4}{5}\\x=\dfrac{5}{6}\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)
\(\left\{\begin{matrix}\left(m+1\right)x-my=3m-1\\2x-y=m+1\end{matrix}\right.\)
tìm m để hệ có nghiệm (x;) sao cho s=x^2+y^2 đạt gtnn
Lời giải:
Nhân PT (2) với $m$ và trừ hai phương trình cho nhau:
\(\text{HPT}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m+1)x-my=3m-1\\ 2xm-ym=m^2+m\end{matrix}\right.\Rightarrow mx-x=m^2-2m+1\)
\(\Rightarrow x=m-1\). Thay vào bất kỳ phương trình nào suy ra \(y=m-3\)
Do đó \(x^2+y^2=(m-1)^2+(m-3)^2=2m^2-8m+10=2(m-2)^2+2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\geq 2\Leftrightarrow m=2\)
Vậy HPT có nghiệm thỏa mãn \((x^2+y^2)_{\min}\Leftrightarrow m=2\)
m =0 có nghiệm x=-1 và y=-3
=> nhân với số 0 hệ sy biến mất kiểm soát
Giải:
Từ (2) thế y=2x-m-1 vào (1)
\(\left(m+1\right)x-m\left(2x-m-1\right)=3m-1\)
\(\left(1-m\right)x+m^2+m=3m-1\Leftrightarrow\left(m-1\right)x=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\)
\(\left\{\begin{matrix}y=\left(2x-\left(m+1\right)\right)\left(3\right)\\\left(m-1\right)x=\left(m-1\right)^2\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
Với m=1 (4) <=> 0x=1 => vô N0 với x
Với m khác 1 (*)
\(\left\{\begin{matrix}x=m-1\\y=m-3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x^2+y^2=\left(m-1\right)^2+\left(m-3\right)^2=\left(m^2-2m+1\right)+\left(m^2-6m+9\right)=2\left(m^2-4m+5\right)=2\left[\left(m-2\right)^2+1\right]\)
\(S=x^2+y^2=2\left[\left(m-2\right)^2+1\right]\ge2\) đẳng thức khi m=2 thỏa mãn đk (*)
Đáp số: m=2