Ta có:

\(\sqrt{2x\left(x+y\right)^3}+y\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)

\(=\sqrt{\left(2x^2+2xy\right)\left(x^2+2xy+y^2\right)}+\sqrt{2}y.\sqrt{x^2+y^2}\)

\(\le\sqrt{\left(2x^2+2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+y^2+x^2+y^2\right)}=2\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2\right)\le2\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2\le0\)

\(\Rightarrow x=y\)

Thế vào pt đầu:

\(x^2+3x+1=\left(x+3\right)\sqrt{x^2+1}\)

Đặt \(\sqrt{x^2+1}=t\Rightarrow t^2-\left(x+3\right)t+3x=0\)

\(\Delta=\left(x+3\right)^2-12x=\left(x-3\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\dfrac{x+3-\left(x-3\right)}{2}=3\\t=\dfrac{x+3+x-3}{2}=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow...\)

2. 4 biến xét dài quá, để người khác

2.

\(a^2+b^2+c^2+d^2=2d^2\) chẵn

\(a^2+b^2+c^2+d^2-a-b-c-d=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\) luôn chẵn

\(\Rightarrow a+b+c+d\) chẵn

\(\Rightarrow\) trong 4 số, luôn có 2 chẵn 2 lẻ, hoặc 4 số đều chẵn 

Cả 2 trường hợp đều suy ra abcd chia hết cho 4 (tích của ít nhất 2 số chẵn)

Ủa mà nhìn lại bài 2 làm sai (nhìn sai đề thành chứng minh abcd chia hết cho 4, trong khi thực tế ko có d)

Vậy làm như sau:

Do bình phương của 1 số nguyên chia 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1, \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\) chia 4 dư 0, 1, 2, 3 (tùy thuộc trong số a;b;c có bao nhiêu số là chẵn)

Trong khi đó \(d^2\) chia 4 dư 1 nên ta chỉ có 2 TH sau:

TH1: \(a^2+b^2+c^2\) và \(d^2\) đều chia hết cho 4

\(\Rightarrow a;b;c\) đều chẵn \(\Rightarrow abc⋮4\)

TH2: \(a^2+b^2+c^2\) và \(d^2\) đều chia 4 dư 1

\(\Rightarrow\) Trong a;b;c có đúng 1 số lẻ và 2 số chẵn

\(\Rightarrow abc⋮4\)

n chẵn nên  đặt \(n=2k\)

\(n^3+2012n=8k^3+2012\cdot2k\)

\(8k^3+4024k\)

\(=8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)+4032k\)

Mà \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)⋮6\Rightarrow8\left(k-1\right)\left(k+1\right)k⋮48;4032k⋮48\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Bài 1:

\(M=x^4-x^3-x^3+x^2+2x^2-2x+2\)

\(=x^2\left(x^2-x\right)-x\left(x^2-x\right)+2\left(x^2-x\right)+2\)

\(=3x^2-3x+6+2\)

\(=3x^2-3x+8\)

\(=3\left(x^2-x\right)+8=3\cdot3+8=17\)

\(A=\left(x^2-9\right)\left(x^2+9\right)-\left(x^2-3\right)\left(x^2+3\right)\)

\(=x^4-81-\left(x^4-9\right)\)

\(=-81+9=-72\)

Bài 3: mk làm theo cách này: từ A = 8k(k²+503)

Ta có: \(k\left(k^2+503\right)=k\left(k^2+5+6.83\right)\)

\(=k\left(k^2-1+6\right)+6.83k\)

\(=k\left(k^2-1\right)+6k+6.83k\)

\(=\left(k-1\right)k\left(k+1\right)+6\left(k+83k\right)\)

Vì \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\) gồm tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 và tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2.Mà (3,2)=1 nên \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\) \(⋮2.3=6\). Do đó : \(k\left(k^2+503\right)\) \(⋮\) 6

Vậy A \(⋮\) 8.6=48

1) Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}x-3=a\\x+2=b\end{matrix}\right.\) ta có: \(pt\Leftrightarrow a^3+b^3=\left(a+b\right)^3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

\(\Rightarrow3a^2b+3ab^2=0\Leftrightarrow3ab\left(a+b\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3ab=0\Leftrightarrow ab=0\\a+b=0\end{matrix}\right.\)

Khi \(ab=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Khi \(a+b=0\Leftrightarrow x-3+x+2=0\Leftrightarrow2x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

Vậy pt có nghiệm \(S=\left\{3;-2;\dfrac{1}{2}\right\}\)

Bài 1:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} x-3=a\\ x+2=b\end{matrix}\right.\). PT trở thành:

\(a^3+b^3=(a+b)^3\)

\(\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)^3\)

\(\Leftrightarrow (a+b)[(a+b)^2-(a^2-ab+b^2)]=0\)

\(\Leftrightarrow 3ab(a+b)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=0\\ b=0\\ a+b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x-3=0\\ x+2=0\\ 2x-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=3\\ x=-2\\ x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

Gọi \(\text{BS2010}\) là bội số của $2010$

Ta có: \(2009^{2008}+2011^{2010}=(2010-1)^{2008}+(2010+1)^{2010}\)

Vì $2008$ chẵn nên: \((2010-1)^{2008}=\text{BS2010}+1\)

\((2010+1)^{2010}=\text{BS2010}+1\)

Do đó:

\(2009^{2008}+2011^{2010}=\text{BS2010}+1+\text{BS2010}+1=\text{BS2010}+2\)

Tức là \(2009^{2008}+2011^{2010}\) không chia hết 2010 (chia 2010 dư 2)

Đề bài sai.

Nếu bạn thay $2008$ thành số lẻ thì bài toán sẽ đúng

Ta có: \(A=\dfrac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}-\dfrac{3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\dfrac{15\sqrt{x}-11-3x-9\sqrt{x}+2\sqrt{x}+6-\left(2x-2\sqrt{x}+3\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\dfrac{-3x+8\sqrt{x}-5-2x-\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\dfrac{-5x+7\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\dfrac{-5\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}\)

\(\Leftrightarrow A-\dfrac{2}{3}=\dfrac{-5\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow A-\dfrac{2}{3}=\dfrac{-15\sqrt{x}+6-2\sqrt{x}-6}{3\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(\Leftrightarrow A-\dfrac{2}{3}=\dfrac{-17\sqrt{x}}{3\left(\sqrt{x}+3\right)}\le0\)

\(\Leftrightarrow A\le\dfrac{2}{3}\)