a.

\(y'=\dfrac{3}{cos^2\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)}-\dfrac{2}{sin^2\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)}-sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\)

b.

\(y'=\dfrac{\dfrac{\left(2x+1\right)cosx}{2\sqrt{sinx+2}}-2\sqrt{sinx+2}}{\left(2x+1\right)^2}=\dfrac{\left(2x+1\right)cosx-4\left(sinx+2\right)}{\left(2x+1\right)^2}\)

c.

\(y'=-3sin\left(3x+\dfrac{\pi}{3}\right)-2cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)-\dfrac{1}{sin^2\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}\)

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các công thức và quy tắc trong lượng giác để tính toán.

Trước hết, ta có: sin(α+β) = sinα.cosβ + cosα.sinβ cos(α+β) = cosα.cosβ - sinα.sinβ

Đề bài cho α+β = 1313 và tanα = -2tanβ. Ta có thể suy ra các thông tin sau: tanα = -2tanβ => sinα/cosα = -2sinβ/cosβ => sinα.cosβ = -2sinβ.cosα

Bài toán yêu cầu tính A = sin(α+3π/8) . cos(α+π/8) + sin(β-5π/12) . sin(β-π/12)

Để tính A, ta sẽ thay các giá trị đã biết vào công thức trên:

A = sin(α+3π/8) . cos(α+π/8) + sin(β-5π/12) . sin(β-π/12) = (sinα . cos(3π/8) + cosα . sin(3π/8)) . (cosα . cos(π/8) - sinα . sin(π/8)) + (sinβ . cos(5π/12) - cosβ . sin(5π/12)) . (cosβ . cos(π/12) + sinβ . sin(π/12)) = (sinα . cos(3π/8) + cosα . sin(3π/8)) . (cosα . cos(π/8) - sinα . sin(π/8)) + (sinβ . cos(5π/12) - cosβ . sin(5π/12)) . (cosβ . cos(π/12) + sinβ . sin(π/12)) = (sinα . cos(3π/8) + cosα . sin(3π/8)) . (cosα . cos(π/8) - sinα . sin(π/8)) + (sinβ . cos(5π/12) - cosβ . sin(5π/12)) . (cosβ . cos(π/12) + sinβ . sin(π/12)) = (sinα . cos(3π/8) + cosα . sin(3π/8)) . (cosα . cos(π/8) - sinα . sin(π/8)) + (sinβ . cos(5π/12) - cosβ . sin(5π/12)) . (cosβ . cos(π/12) + sinβ . sin(π/12))

Tuy nhiên, để tính giá trị chính xác của A, cần biết thêm giá trị cụ thể của α và β. Trong câu hỏi của bạn, không có thông tin về α và β, do đó không thể tính toán giá trị của A.

a: \(sin\left(x-\dfrac{\Omega}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

=>\(sin\left(x-\dfrac{\Omega}{4}\right)=sin\left(-\dfrac{\Omega}{4}\right)\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-\dfrac{\Omega}{4}=-\dfrac{\Omega}{4}+k2\Omega\\x-\dfrac{\Omega}{4}=\Omega+\dfrac{\Omega}{4}+k2\Omega\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k2\Omega\\x=\dfrac{3}{2}\Omega+k2\Omega\end{matrix}\right.\)

b: \(cos\left(x+\dfrac{\Omega}{4}\right)=cos\left(\dfrac{3}{4}\Omega\right)\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x+\dfrac{\Omega}{4}=\dfrac{3}{4}\Omega+k2\Omega\\x+\dfrac{\Omega}{4}=-\dfrac{3}{4}\Omega+k2\Omega\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\Omega+k2\Omega\\x=-\Omega+k2\Omega\end{matrix}\right.\)

c: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}2x< >\dfrac{\Omega}{2}+k\Omega\\x+\dfrac{\Omega}{3}< >\dfrac{\Omega}{2}+k\Omega\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x< >\dfrac{\Omega}{4}+\dfrac{k\Omega}{2}\\x< >\dfrac{1}{6}\Omega+k\Omega\end{matrix}\right.\)

\(tan2x=tan\left(x+\dfrac{\Omega}{3}\right)\)

=>\(2x=x+\dfrac{\Omega}{3}+k\Omega\)

=>\(x=\dfrac{\Omega}{3}+k\Omega\)

d: ĐKXĐ: \(2x< >k\Omega\)

=>\(x< >\dfrac{k\Omega}{2}\)

\(cot2x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

=>\(cot2x=cot\left(-\dfrac{\Omega}{3}\right)\)

=>\(2x=-\dfrac{\Omega}{3}+k\Omega\)

=>\(x=-\dfrac{\Omega}{6}+\dfrac{k\Omega}{2}\)

Ta có \(F=sin^2\dfrac{\pi}{6}+...+sin^2\pi=\left(sin^2\dfrac{\pi}{6}+sin^2\dfrac{5\pi}{6}\right)+\left(sin^2\dfrac{2\pi}{6}+sin^2\dfrac{4\pi}{6}\right)+\left(sin^2\dfrac{3\pi}{6}+sin^2\pi\right)=\left(sin^2\dfrac{\pi}{6}+cos^2\dfrac{\pi}{6}\right)+\left(sin^2\dfrac{2\pi}{6}+cos^2\dfrac{2\pi}{6}\right)+\left(1+0\right)=1+1+1=3\)

\(=\dfrac{tan\left(\dfrac{pi}{2}+x\right)\cdot sin\left(-x\right)\cdot cos\left(x-pi\right)}{cos\left(\dfrac{pi}{2}-x\right)\cdot sin\left(x+pi\right)}\)

\(=\dfrac{-cotx\cdot sin\left(-x\right)\cdot\left(-cosx\right)}{sinx\cdot-sinx}\)

\(=\dfrac{cotx\cdot sinx\left(-1\right)\cdot cosx}{-sinx\cdot sinx}=\dfrac{\dfrac{cosx}{sinx}\cdot cosx}{sinx}=\dfrac{cos^2x}{sin^2x}=cot^2x\)

\(VT=\dfrac{-tan\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)cos\left(2\pi-\dfrac{\pi}{2}+a\right)-sin^3\left(4\pi-\dfrac{\pi}{2}-a\right)}{cos\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)tan\left(2\pi-\dfrac{\pi}{2}+a\right)}\)

\(=\dfrac{-cota.sina+sin^3\left(\dfrac{\pi}{2}+a\right)}{sina.\left(-cota\right)}=\dfrac{-cosa+cos^3a}{-cosa}=1-cos^2a=sin^2a\)